Что такое сумма комплексных чисел

Содержание
  1. Комплексные числа
  2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел
  3. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
  4. Комплексно сопряженные числа
  5. Модуль комплексного числа
  6. Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
  7. Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
  8. Аргумент комплексного числа
  9. Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
  10. Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
  11. Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
  12. Сложение и вычитание комплексных чисел
  13. Готовые работы на аналогичную тему
  14. Что такое комплексные числа
  15. 0. Краткая вводная
  16. 1. Комплексная единица
  17. 2. Стандартная форма записи комплексных чисел
  18. 2.1. Равенство комплексных чисел
  19. 3. Сложение и вычитание комплексных чисел
  20. 4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
  21. 4.1. Ещё раз о сложении и вычитании
  22. 5. Комплексно-сопряжённые и модуль числа
  23. 5.1. Комплексно-сопряжённые
  24. 5.2. Модуль комплексного числа
  25. 6. Умножение и деление комплексных чисел
  26. 6.1. Умножение
  27. 6.2. Деление

Комплексные числа

dot5Алгебраическая форма записи комплексных чисел
dot5Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
dot5Комплексно сопряженные числа
dot5Модуль комплексного числа
dot5Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
dot5Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости
dot5Аргумент комплексного числа
dot5Тригонометрическая форма записи комплексного числа
dot5Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
dot5Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
dot5Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

div1

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

dot5 comp14
dot5 comp15
dot5 comp16
dot5 comp17
dot5 comp18

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

comp19

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

comp20

а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:

dot5 comp21
dot5 comp22
dot5 comp23
dot5 comp24

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле

comp25

comp25w600

comp25w300

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

comp26

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

c1

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

c2

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

comp28

Тогда оказывается справедливым равенство:

comp29

comp31 (3)
comp32 (4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение
числа z
Знаки x и y Главное значение аргумента Аргумент Примеры
Положительная
вещественная
полуось
comp36 comp37 comp38
Положительная
мнимая
полуось
ms4 comp41 comp42
Второй
квадрант
comp44 comp45 comp46
Отрицательная
вещественная
полуось
Положительная
вещественная
полуось
Знаки x и y
Главное
значение
аргумента
0
Аргумент φ = 2kπ
Примеры comp34
Главное
значение
аргумента comp36 Аргумент comp37 Примеры comp38 Главное
значение
аргумента ms4 Аргумент comp41 Примеры comp42 Главное
значение
аргумента comp44 Аргумент comp45 Примеры comp46

x z Третий
квадрант Знаки x и y

x z Отрицательная
мнимая
полуось Знаки x и y

y z Четвёртый
квадрант Знаки x и y

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

comp34

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

comp36

comp37

comp38

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

ms4

comp41

comp42

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

comp44

comp45

comp46

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

comp65

comp65w400

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел comp68и comp69записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

comp70

comp70w300

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

comp71

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть comp72— произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

comp75

comp76

следствием которых являются равенства

comp77 (9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

comp78 (10)

comp79

comp79w300

comp84

то по формуле (10) получаем:

comp85

comp86

comp86w300

Источник

Сложение и вычитание комплексных чисел

Вы будете перенаправлены на Автор24

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Другими словами, суммой двух заданных комплексных чисел является комплексное число, действительная и мнимая части которого определяется как сумма соответственно действительных и мнимых частей исходных слагаемых.

Сумму любого количества заданных комплексных чисел можно найти путем суммирования действительных частей и суммирования мнимых частей слагаемых.

Для операции суммы комплексных чисел справедливо следующее правило: (от перестановки слагаемых сумма не меняется).

Сумму двух заданных комплексных чисел можно найти с помощью комплексной плоскости по правилу «параллелограмма» (правило параллелограмма сложения векторов).

Иллюстрация примера сложения комплексных чисел с использованием комплексной плоскости приведена на рис.1-2.

7 9 pic1

7 9 pic2

Для сложения комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

Готовые работы на аналогичную тему

Для сложения комплексных чисел воспользуемся определением. Для вычисления модуля комплексного числа воспользуемся формулой:

\[z_ <1>+z_ <2>=(\sqrt <3>+0\cdot i)+(0+\sqrt <5>\cdot i)=(\sqrt <3>+0)+(0+\sqrt <5>)i=\sqrt <3>+\sqrt <5>\cdot i\]

Модуль разности двух заданных комплексных чисел равен расстоянию между точками, которые изображают эти числа на комплексной плоскости:

Для нахождения разности комплексных чисел воспользуемся определением и получим:

Найти модуль разности двух заданных комплексных чисел:

Воспользуемся формулой из примечания 4.

На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рис. 3), используя следующий алгоритм:

7 9 pic3

На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать, используя другой алгоритм:

7 9 pic4

7 9 pic5

Для построения воспользуемся примечаниями 4 и 6.

7 9 pic6

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 11 2021

Источник

Что такое комплексные числа

Первый урок по комплексным числам. Сегодня мы разберём:

Если же вас интересует тригонометрическая форма записи комплексного числа, либо извлечение корней из комплексных чисел — этим темам посвящены отдельные уроки.

Сегодня — лишь самое главное. Но не самое простое.:)

0. Краткая вводная

Когда-то нам хватало натуральных чисел:

Всё было прекрасно: «У тебя 5 бананов, у меня ещё 3 — итого у нас 5 + 3 = 8 бананов». Сумма двух натуральных чисел всегда даёт новое натуральное число (говорят, что операция сложения замкнута на множестве натуральных чисел).

Но вот на сцену выходит вычитание — и натуральных чисел стало недостаточно. Например разность 3 − 5 = −2 уже не будет натуральным. Так появились целые числа (натуральные, им противоположные и ноль):

Дальше к делу подключились операции умножения и деления. Да, произведение двух целых чисел всё ещё целое, но вот деление приводит к образованию дробей. Например, 1 : 2 или 5 : 4 уже нельзя записать целым числом. Так появилось множество рациональных чисел или множество дробей:

Это был настоящий триумф для древней математики, и в тот момент казалось, что ничего больше уже изобрести нельзя. Да и зачем?

Проблема пришла откуда не ждали. В какой-то момент классическое умножение «разрослось» до возведения в степень:

Тут-то и выяснилось, что возведение рационального числа в натуральную степень всё ещё будет рациональным числом. Но вот обратная операция — извлечение корня — выносит нас за пределы рациональных чисел:

\[\sqrt<2>=1,41421. \notin \mathbb\]

Так появилось множество действительных чисел — множество бесконечных десятичных дробей, которые могут быть периодическими (и тогда это обычное рациональное число) и непериодическими (такие числа называют иррациональными, и их неизмеримо больше).

Казалось бы: ну вот теперь точно всё! Что ещё нужно для счастья? Проблема в том, что на множестве действительных чисел нельзя извлечь даже самый простой квадратный корень из отрицательного числа:

Однако законы физики (особенно электродинамика и вообще всё, где есть слово «динамика») как бы намекали, что множество содержательных процессов протекает там, где привычные корни не извлекаются. А значит, следует расширить множество действительных чисел так, чтобы такие корни всё же извлекать.

И тут открылись врата в Ад.

1. Комплексная единица

Начнём с ключевого определения.

Однако в остальном это такое же число, как и все остальные. Комплексные единицы можно складывать, умножать, их можно комбинировать с «нормальными» числами:

2. Стандартная форма записи комплексных чисел

А теперь всё по-взрослому.

Определение. Комплексное число — это любое число вида

\[\begin & z=5+3i \\ & \operatorname\left( z \right)=5 \\ & \operatorname\left( z \right)=3 \\ \end\]

\[\begin & 5=5+0\cdot i \\ & x=x+0\cdot i\left( \forall x\in \mathbb \right) \\ \end\]

И напротив: существуют «чисто мнимые» числа, у которых вообще нет действительной части. Та же комплексная единица, например:

\[\begin i &=0+1\cdot i \\ 35i &=0+35\cdot i \\ \end\]

Таким образом, действительные числа являются частным случаем комплексных. Подобно тому как рациональные числа являются частным случаем действительных (в конце концов, рациональные числа — те же десятичные дроби, но с дополнительным условием: они периодические).

2.1. Равенство комплексных чисел

В самом деле, пусть некоторое число записано двумя способами:

Соберём все действительные слагаемые слева, а мнимые — справа:

Слева мы видим действительное число. Значит, справа тоже должно стоять действительное число. Единственная ситуация, в которой это возможно:

Получается, что справа от знака равенства стоит ноль. Следовательно, слева тоже ноль:

Следовательно, исходные записи совпадают.

Поэтому имеет смысл следующее определение.

Определение. Два комплексных числа равны друг другу тогда и только тогда, когда равны их действительные части, а также равны их мнимые части:

Если хотя бы одна из частей не равна, то и сами числа не равны.

Поскольку от перестановки слагаемых сумма не меняется (сложение чисел — настолько суровая операция, что какие-то там «комплексные единицы» никак не нарушают его коммутативности), мы можем записать:

А вот перестановка мнимой и действительной части (если эти части разные) немедленно ведёт к нарушению равенства:

К координатной плоскости мы ещё вернёмся. А пока определим правила сложения и вычитания комплексных чисел.

3. Сложение и вычитание комплексных чисел

Выше мы проводили аналогию между комплексными числами и многочленами. Идём по этому пути дальше и вспоминаем, что многочлены можно складывать, группируя слагаемые и приводя подобные:

Точно так же можно определить и сложение (да и вычитание) двух комплексных чисел. Всё просто:

Другими словами, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные части и отдельно — мнимые. То же самое для вычитания.

Не нужно учить эти формулы. Дальше будут формулы умножения и деления — они ещё сложнее. Нужно понять ключевую идею: мы работаем с комплексными числами точно так же, как с многочленами. С небольшим дополнением: все степени комплексной единицы выше первой «сжигаются» прямо по определению самой единицы:

Небольшое замечание. В отличие от математики 5—6 классов, в серьёзной «взрослой» алгебре нет такого понятия как «вычитание». Зато есть понятие противоположного элемента и алгебраической суммы:

Всё это в полной мере относится и к комплексным числам. Там тоже есть противоположные:

Есть ноль (нейтральный элемент по сложению):

\[\begin 0 & =0+0\cdot i \\ z & =a+bi \\ z+0 & =\left( a+0 \right)+\left( b+0 \right)\cdot i= \\ & =a+bi=z \end\]

В общем, множество комплексных чисел — это абсолютно «нормальное» множество с понятной операцией сложения. Буквально через пару минут мы определим и умножение, но сначала давайте всё-таки запишем определение самого множества комплексных чисел.

Записывается это так:

Не пугайтесь, когда увидите подобную запись где-нибудь в учебнике алгебры. По сути, это краткая запись всего того, о чём мы говорили выше. Ничего нового мы здесь не узнали.

А вот что действительно представляет интерес — сейчас узнаем.:)

4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Такие упорядоченные пары удобно рассматривать как координаты точек. По горизонтали (ось абсцисс) мы будем отмечать действительную часть числа, а по вертикали (ось ординат) — мнимую.

Определение. Комплексная плоскость — декартова система координат, где по горизонтали отмечается действительная часть комплексного числа, а по вертикали — мнимая.

Рассмотрим несколько примеров. Отметим на комплексной плоскости числа:

komplexnaya ploskosty

4.1. Ещё раз о сложении и вычитании

Такое представление чисел — в виде точек на комплексной плоскости — называется геометрической интерпретацией. Числа в таком виде удобно складывать и вычитать. По сути, всё сводится к сложению обычных векторов.

Допустим, мы хотим сложить два числа:

Отметим эти числа на комплексной плоскости, построим векторы из начала координат с концами в отмеченных точках, а затем просто сложим эти векторы (по правилу треугольника или параллелограмма — как пожелаете):

slojenie komplexnih chisel

Координаты новой точки: (6; 2). Следовательно, сумма равна:

Аналогичный результат можно получить и алгебраически:

Как видим, алгебраические выкладки заняли гораздо меньше времени и места. Уже хотя бы потому что не потребовалось чертить систему координат.:)

Зачем же тогда нужна комплексная плоскость и геометрическая интерпретация? Всё встанет на свои места буквально через пару уроков, когда мы рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексных чисел, а также будем извлекать из этих чисел корни.

А чтобы подготовиться к этим урокам, рассмотрим ещё два ключевых определения.

5. Комплексно-сопряжённые и модуль числа

Для начала вспомним школьную алгебру. Работа с многочленами, 7-й класс:

называется разностью квадратов и является одной из формул сокращённого умножения.

В математических классах с помощью сопряжённых искали обратные числа, чтобы затем решать сложные показательные и логарифмические уравнения:

Теперь настало время комплексных чисел. В них тоже можно ввести понятие сопряжённых.

5.1. Комплексно-сопряжённые

Комплексно-сопряжённые числа отмечаются чертой сверху.

Рассмотрим несколько примеров:

Видим, что комплексно-сопряжённое к «чисто мнимому» числу есть число, ему противоположное. А комплексно-сопряжённое к действительному числу есть само это число.

Зачем нужны комплексно-сопряжённые? Вспомним всё ту же формулу разности квадратов:

Итак, произведение числа на комплексно-сопряжённое даёт сумму квадратов действительной и мнимой части. Это ключевое свойство комплексно-сопряжённых, и оно позволяет нам рассмотреть следующее определение.

5.2. Модуль комплексного числа

Снова вспомним школьную алгебру. Модуль действительного числа определяют так:

Ключевая идея: модуль числа — это всегда неотрицательная величина, равная расстоянию от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчёта. Но всё это происходит на числовой прямой. На комплексной плоскости к делу подключается теорема Пифагора.

Вновь обратимся к геометрической интерпретации:

moduly komplexnogo chisla

\[b=0\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt<<^<2>>>\]

Получается, что на множестве комплексных чисел нельзя ввести привычные нам понятия «больше» или «меньше». Поскольку каждое число характеризуется двумя независимыми параметрами (действительной и мнимой частью), нет универсальной меры, нет отношения порядка.

Можно считать это фундаментальным законом природы. Когда мы держим в голове больше одного параметра, нет больше универсального критерия успеха:

Оценка одного и того же события будет меняться в зависимости от настроения и наших предпочтений.

Модуль числа нам пригодится в следующем уроке. А вот комплексно-сопряжённые мы будем применять уже сейчас.

6. Умножение и деление комплексных чисел

Комплексные числа можно не только складывать и вычитать, но даже умножать и делить друг на друга.

6.1. Умножение

С умножением ничего особенного.

\[\begin <_<1>>\cdot <_<2>> & =\left( a+bi \right)\left( c+di \right)= \\ & =ac+bc\cdot i+ad\cdot i+bd\cdot <^<2>>= \\ & =\left( ac-bd \right)+\left( ad+bc \right)\cdot i\end\]

Как видим, произведение комплексных чисел вновь даёт комплексное число.

Как и в случае со сложением, не нужно учить эти формулы наизусть. Лучше просто потренироваться и понять сам механизм:

Достаточно решить 10—15 таких примеров — и никакие специальные формулы и определения вам больше не понадобятся. То же самое и с делением.

6.2. Деление

Финальный бросок — попробуем разделить одно комплексное число на другое. Разумеется, делитель не должен быть нулём, иначе частное не определено.

Частное комплексных чисел вновь будет комплексным числом.

Саму формулу не нужно запоминать. Достаточно лишь отметить для себя, что мы умножили числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряжённое к знаменателю. Само деление можно выполнять напролом:

Тем не менее, даже после основательной тренировки умножение и особенно деление комплексных чисел остаётся трудоёмкой операцией, где можно допустить множество ошибок. Поэтому для таких операций (а также для кое-чего гораздо более серьёзного) математики придумали другую форму записи комплексных чисел — тригонометрическую. С ней мы и познакомимся на следующем уроке.:)

Источник

Мир познаний
Добавить комментарий

Adblock
detector