- Как найти сумму координат вектора
- Система координат в пространстве
- Декартова система координат в пространстве
- Расстояние между двумя точками
- Уравнение сферы и шара
- Координаты середины отрезка
- Векторы в пространстве и действия над ними
- Векторы в пространстве
- Действия над векторами в пространстве
- Свойства суммы векторов
- Правило треугольника сложения векторов
- Правило параллелограмма сложения векторов
- Правило многоугольника сложения векторов
- Коллинеарные и компланарные векторы
- Скалярное произведение векторов
- Свойства скалярного произведения векторов
- Преобразование и подобие в пространстве
- Геометрические преобразования в пространстве
- Движение и параллельный перенос
- Центральная симметрия в пространстве
- Симметрия относительно плоскости
- Поворот и симметрия относительно оси
- Симметрия в природе и технике
- Подобие пространственных фигур
Как найти сумму координат вектора
Доброй ночи!
Задали домашнюю самостоятельную работу. Не могу разобраться с двумя задачами. Помогите, кто может!))
Пример 1.
Найти сумму координат вектора, если даны координаты точек А(13; 17) и В(23; 27) – концов вектора.
Решение.
Найдем координат вектора АВ. Для этого от координаты его конца – точки В – вычтем координаты начала – точки А.
Координаты вектора АВ:
АВ=(23–13; 27–17)=(10; 10).
Найдем сумму его координат:
10+10=20.
Ответ. 20.
Пример 2.
Дан параллелограмм ABCD. Известны координаты двух его вершин А (14; –12; 14) и В (15; –11; –18), а точка О (17; –11; 14) – точка пересечения его диагоналей. Найти сумму координат вектора АD.
Решение.
Поскольку точкой пересечения диагонали параллелограмма делятся пополам, то ВО=OD. Таким образом, точка О – это середина отрезка BD.
Воспользуемся формулой для вычисления координат середины отрезка:
Подставим известные координаты:
Получили координаты точки D(19; –11; 46).
Найдем координаты вектора AD:
(19–14; –11–(–12); 46–14)=(5; 1; 32).
Сумма его координат равна:
5+1+32=38.
Содержание:
Система координат в пространстве
Декартова система координат в пространстве
Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом
Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).
Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.
Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.
Пример:
Пусть в пространстве в декартовой системе координат
задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?
Решение:
От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).
Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).
Расстояние между двумя точками
Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.
Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.
Однако
Поэтому
2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда и, так как
Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:
(1)
Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны
Уравнение сферы и шара
Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству
Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в
точке А (а; b; с) имеет вид:
Пример:
Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в
Решение:
Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:
Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр .
Ответ:
Координаты середины отрезка
Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости
Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.
Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.
Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам
находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).
Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.
Координаты середины отрезка МК:
Координаты середины отрезка NL:
В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»
Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».
В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»
Векторы в пространстве и действия над ними
Векторы в пространстве
Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.
Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.
Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа , (рис. 17).
Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.
Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.
Hа основании этого вектор можно обозначить как или
или кратко
(рис. 18).
Вектор можно записать и без координат (или
). В этой записи
Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают или
, направление этого вектора не определено.
Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,
координатами вектора :
(а1; а2; а3).
Однако вектор в пространстве с началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке
будет иметь те же координаты:
.
Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.
Длинной вектора называют длину направленного отрезка
изображающего его (рис. 17). Длину вектора записывают
так. Длина вектора
, заданного координатами,
вычисляется по формуле .
Пример:
Решение:
У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:
Следовательно, .
Докажите самостоятельно, что
Действия над векторами в пространстве
Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.
Суммой векторов и
(b1; b2; b3); называют вектор
(рис. 20).
Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора , а груз относительно крана вдоль вектора
. В результате груз движется вдоль вектора
. Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.
Свойства суммы векторов
Для любых векторов ,
и
имеют место следующие свойства:
a) — переместительный закон сложения векторов;
b) — распределительный закон сложения.
Правило треугольника сложения векторов
Для любых точек А, В и С (рис. 21):
Правило параллелограмма сложения векторов
Правило многоугольника сложения векторов
Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то
.
(a1; a2; a3) на число
(рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.
Для любых векторов и
и чисел
и
а);
b);
c) и направление вектора
совпадает с направлением вектора , если
,
противоположно направлению вектора , если
.
Коллинеарные и компланарные векторы
Пусть заданы ненулевые векторы и
. Если векторы
и
сонаправлены или противоположно направлены,
то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).
Свойство 1. Если для векторов и
имеет место равенство
, то они коллинеарны и наоборот.
Если , то векторы
и
сонаправлены
, если
, то
противоположно направлены .
Свойство 2. Если векторы (a1; a2; a3) и
(b1; b2; b3) коллинеарны,
то их соответствующие координаты пропорциональны:
и наоборот.
Пример:
Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору ( 1; 2; 3).
Решение:
Тогда получаем следующие пропорции .
Откуда находим ,
.
Итак,
Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27).
Векторы (1; 0; 0),
(0; 1; 0) и
(0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).
Любой вектор можно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде
(рис. 29).
Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора и
, то любой вектор
можно единственным образом представить в виде:
.
Здесь некоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.
Скалярное произведение векторов
Углом между ненулевыми векторами и
называют угол между направленными отрезками векторов
=
и
=
, исходящих из точки О (рис. 30).
Угол между векторами и
обозначают так
.
Скалярным произведением векторов и
называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.
Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Скалярное произведение обозначают или
. По определению
(1)
Из определения следует, что если скалярное произведение векторов и
равно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.
В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии , под воздействием силы
(рис. 31), равна скалярному произведению силы
на расстояние
:
Свойство. Если и
(b1; b2; b3), то (
) =
Доказательство. Приложим векторы и
к началу
координат О (рис.32). Тогда =
и
= (b1; b2; b3).
Тогда .
Однако, ,
и .
Следовательно,
.
Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны , также выполняется
это равенство.
Свойства скалярного произведения векторов
1. — переместительное свойство.
2. — распределительное свойство.
3. — сочетательное свойство.
4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными
векторами, то , так как соs 0° = 1.
6. .
7. Если вектор перпендикулярен вектору
, то
. Следствия: а) Длина вектора
; (1) b) косинус угла между векторами
:
; (2)
с) условие перпендикулярности векторов и
.
(3)
Пример:
— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами
.
Решение:
Найдём длины векторов :
,
.
,
.
Пример:
Найдите угол между векторами .
Решение:
Итак,
Пример:
Найдите , если
,
и угол между векторами
и
равен
.
Решение:
Пример:
Найдите координаты и длины векторов 1); 2)
, если
.
Решение:
Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов и
по координатам:
1)
. Следовательно,
.
Тогда.
2)
.
Следовательно, .
Тогда
Пример:
Найдите произведение, если угол между векторами
и
равен 30° и
,
.
Решение:
Сначала найдём поизведение векторов и
:
.
Затем перемножим заданные выражения как многочлены
и, пользуясь распределительным свойством умножения
вектора на число, получим:
.
Учитывая, что ,
найдём искомое произведение
Преобразование и подобие в пространстве
Геометрические преобразования в пространстве
Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.
Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.
Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.
Движение и параллельный перенос
В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.
Простейшим примером движения является параллельный перенос.
Пусть в пространстве даны вектор и произвольная точка Х
(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным
переносом на вектор , если выполняется условие
. Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор
при помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.
Пусть точка фигуры F перешла в точку
фигуры F1 при помощи параллельного переноса
на вектор .
Тогда по определению получим:
или
.
Эти равенства называют формулами параллельного переноса.
Пример:
В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор = (3; 2; 5)?
Решение:
По вышеприведённым формулам параллельного переноса: .
Ответ: .
Центральная симметрия в пространстве
Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.
Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.
Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.
Пример:
В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?
Решение:
Из этих уравнений получаем:
.
Ответ:
Симметрия относительно плоскости
Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,
если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно
плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).
Симметрия относительно плоскости а является движением.
Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.
Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.
Поворот и симметрия относительно оси
Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол , то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол
относительно прямой l (рис. 55).
Поворот относительно прямой также является движением.
Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.
Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:
Симметрия в природе и технике
В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.
Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.
Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.
Подобие пространственных фигур
Пусть и преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если
при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры , то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).
Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.
Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.
Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к . Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию
, называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом
(рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число
коэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.
Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.
Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.