Что такое сумма координат

Содержание
  1. Как найти сумму координат вектора
  2. Система координат в пространстве
  3. Декартова система координат в пространстве
  4. Расстояние между двумя точками
  5. Уравнение сферы и шара
  6. Координаты середины отрезка
  7. Векторы в пространстве и действия над ними
  8. Векторы в пространстве
  9. Действия над векторами в пространстве
  10. Свойства суммы векторов
  11. Правило треугольника сложения векторов
  12. Правило параллелограмма сложения векторов
  13. Правило многоугольника сложения векторов
  14. Коллинеарные и компланарные векторы
  15. Скалярное произведение векторов
  16. Свойства скалярного произведения векторов
  17. Преобразование и подобие в пространстве
  18. Геометрические преобразования в пространстве
  19. Движение и параллельный перенос
  20. Центральная симметрия в пространстве
  21. Симметрия относительно плоскости
  22. Поворот и симметрия относительно оси
  23. Симметрия в природе и технике
  24. Подобие пространственных фигур

Как найти сумму координат вектора

Доброй ночи!
Задали домашнюю самостоятельную работу. Не могу разобраться с двумя задачами. Помогите, кто может!))

Пример 1.
Найти сумму координат вектора, если даны координаты точек А(13; 17) и В(23; 27) – концов вектора.

Решение.
Найдем координат вектора АВ. Для этого от координаты его конца – точки В – вычтем координаты начала – точки А.
Координаты вектора АВ:
АВ=(23–13; 27–17)=(10; 10).
Найдем сумму его координат:
10+10=20.

Ответ. 20.

Пример 2.
Дан параллелограмм ABCD. Известны координаты двух его вершин А (14; –12; 14) и В (15; –11; –18), а точка О (17; –11; 14) – точка пересечения его диагоналей. Найти сумму координат вектора АD.

Решение.
Поскольку точкой пересечения диагонали параллелограмма делятся пополам, то ВО=OD. Таким образом, точка О – это середина отрезка BD.
Воспользуемся формулой для вычисления координат середины отрезка:

quicklatex.com 1ab476af6a23637cccabdaaf50570f2b l3

quicklatex.com 0edc68128a21fed4d922c2f5f22fd55a l3

quicklatex.com d4536957ca335b66839c42ed4a5b3c40 l3

Подставим известные координаты:

quicklatex.com c986a846d54033d831c242441992cae1 l3

quicklatex.com 5dcd65edde1d1bc5e57eae9e99ce1ce3 l3

quicklatex.com 6686a56c737ed84a15a5e6e1f621af11 l3

quicklatex.com 60a19febd43223eded37f81ddf3c1933 l3

quicklatex.com e2b30234ae6d07e18d32ee9951a91eaf l3

quicklatex.com 84849475a70a8735a82357e8efe0629d l3

quicklatex.com f3e9b2d5c5bd77783db3389d628901fc l3

quicklatex.com 15b83f8350016428c4cf6a83f1ae7de8 l3

quicklatex.com acb3735dad3f7392565aff34fb505c6f l3

Получили координаты точки D(19; –11; 46).
Найдем координаты вектора AD:
(19–14; –11–(–12); 46–14)=(5; 1; 32).
Сумма его координат равна:
5+1+32=38.

Источник

Содержание:

Система координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве

Вы познакомились с декартовой системой координат на плоскости в предыдущих классах. Систему координат в пространстве введём аналогично тому, как это было сделано на плоскости. Рассмотрим три взаимно перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz, пересекающихся в точке О, являющейся началом координат. Через каждую пару этих прямых проведём плоскости Оху, 0xz и Оуz (рис. 1). Таким образом вводится система координат в пространстве, при этом

98184

Координатные плоскости делят пространство на 8 октант (получетвертей) (рис. 1).

Пусть в пространстве задана произвольная точка А. Через эту точку проведём плоскости, перпендикулярные плоскостям Охz, Оуz и Охz (рис. 2). Одна из этих плоскостей пересечёт ось Ох в точке Ах.

Координату Ах на оси Ох называют координатой х или абсциссой точки А.

Пример:

Пусть в пространстве в декартовой системе координат

задана точка А (2; 3; 4). Где она расположена?

Решение:

От начала координат в положительном направлении осей Ох и Оу отложим отрезки ОАх = 2 и ОАу = 3 (рис. 4).

Пользуясь системой координат, созданной для современных программируемых станков и автоматизированных роботов, составляются программы, на основе которых обрабатываются металлы (рис. 5).

98342

Расстояние между двумя точками

Координаты х и у этих точек соответственно равны координатам х и у точек А, В, а координаты z равны 0.

Теперь через точку В проведём плоскость а, параллельную плоскости Оху. Она пересечёт прямую ААz в некоторой точке С.

Однако 98607

Поэтому 98613

2.Пусть отрезок АВ параллелен оси Оz, тогда 98628и, так как

Следовательно, расстояние между двумя точками А и В:

98613(1)

Примечание. Формула (1) выражает длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 98658

Уравнение сферы и шара

Известно, что множество всех точек М (х; у; z), расположенных на расстоянии R от данной точки А (а; Ь; с) образуют сферу (рис. 7). Тогда по формуле (1) координаты всех точек, расположенных на сфере радиуса R с центром в точке А (а; b; с), удовлетворяют равенству 98685

Отсюда, ясно, что неравенство для точек шара радиуса R с центром в

точке А (а; b; с) имеет вид: 98699

98511

Пример:

Найдите периметр треугольника ABC с вершинами в

Решение:

Р=АВ+АС+ВС периметр треугольника ABC. Воспользовавшись формулой 98747расстояния между двумя точками, найдём длины сторон треугольника:

98751

Следовательно, треугольник ABC равносторонний и его периметр 98763.

Ответ: 98766

Координаты середины отрезка

Отсюда по формулам нахождения координат середины отрезка на плоскости 98810

Чтобы найти координату z, нужно вместо плоскости Оху рассмотреть плоскость 0xz или Оуz.

Тогда и для z получим формулу, подобную вышеприведённой.

98718

Аналогично, используя координаты концов A и B отрезка AB, по формулам 98720

находят координаты точки Р(х1;у]; г,), делящей отрезок АВ в отношении X САР: РВ = X).

Доказательство: Для решения задачи используем признак параллелограмма: Четырёхугольник, точка пересечения диагоналей которого делит их пополам, является параллелограммом.

Координаты середины отрезка МК:

98847

Координаты середины отрезка NL:

98864

В переписке с известным целителем и математиком Абу Али ибн Сино Абу Райхон Беруни задаёт следующий вопрос: «Почему Аристотель и другие (философы) называют шесть сторон?»

Здесь Ибн Сино имеет ввиду три координаты, именуемые условно «шесть сторон».

В произведении «Канон Масъуда» Беруни приводит точное математическое определение шести сторон: «Сторон шесть, так как они ограничивают движение фигур по своим измерениям. Измерений три: длина, ширина и глубина. А их в два раза больше самих измерений.»

Векторы в пространстве и действия над ними

Векторы в пространстве

Понятие вектора в пространстве вводят также как на плоскости.

Вектором в пространстве называют направленный отрезок. Основные понятия, относящиеся к векторам в пространстве, аналогичны этим понятиям на плоскости: длина (модуль), направление вектора, равенство векторов.

103744

Координатами вектора с началом в точке А (х1; у1; z1) и концом в точке В (х1; у1; z1) называют числа 103764, (рис. 17).

Приведем без доказательства свойства векторов, аналогичных свойствам на плоскости.

Также как на плоскости, соответствующие координаты равных векторов равны и, обратно, векторы с равными координатами равны.

Hа основании этого вектор можно обозначить как 103770или 103771или кратко 103773(рис. 18).

Вектор можно записать и без координат 103785(или 103782). В этой записи

Вектор с координатами, равными нулю, называют нулевым вектором и обозначают 103794или 103796, направление этого вектора не определено.

Если начало вектора расположено в начале координат О, а числа а1,

координатами вектора 103801: 103802(а1; а2; а3).

Однако вектор в пространстве 103815с началом в точке К(с1; с2; с3) и концом в точке 103818будет иметь те же координаты: 103821.

Отсюда следует, что вектор можно приложить к любой точке пространства. В геометрии мы рассматриваем такие свободные векторы. Но в физике, обычно вектор связан с некоторой точкой. Например, воздействие силы приложенная к пружине F на рисунке 19 зависит от точки её приложения.

Длинной вектора называют длину направленного отрезка

изображающего его (рис. 17). Длину вектора 103918записывают

так103929. Длина вектора 103935, заданного координатами,

вычисляется по формуле 103940.

Пример:

Решение:

У равных векторов равны соответствующие координаты. Поэтому найдём координаты векторов:

103970

Следовательно, 103974.

Докажите самостоятельно, что 104221

Действия над векторами в пространстве

Действия над векторами. Сложение векторов, умножение на число и их скалярное произведение определяется также как на плоскости.

Суммой векторов 103935и 104256(b1; b2; b3); называют вектор 103999(рис. 20).

103839

Пусть кран на рисунке 20.b движется вдоль вектора 103918, а груз относительно крана вдоль вектора 104007. В результате груз движется вдоль вектора 104009. Поэтому из рисунка 20.с, на котором изображён сюжeт басни русского писателя И.А.Крылова, ясно, что герои басни не смогут сдвинуть телегу с места.

Свойства суммы векторов

Для любых векторов 104091, 104094и 104097имеют место следующие свойства:

a) 104100— переместительный закон сложения векторов;

b) 104105— распределительный закон сложения.

Правило треугольника сложения векторов

Для любых точек А, В и С (рис. 21): 104114

Правило параллелограмма сложения векторов

Правило многоугольника сложения векторов

104073

Правило параллелепипеда сложения трёх векторов, не лежащих в одной плоскости. Если АВСDА1В1С1D1 параллелепипед (рис. 24), то

104136.

104251(a1; a2; a3) на число 104342(рис. 25). Свойства операции умножения вектора на число.

Для любых векторов 104251и 104256и чисел 104343и 104183

а)104172;

b)104187;

c) 104189и направление вектора 104348104251

совпадает с направлением вектора 104251, если 104275,

противоположно направлению вектора 104251, если 104286. 104081

Коллинеарные и компланарные векторы

Пусть заданы ненулевые векторы 104251и 104253. Если векторы

104251и 104256сонаправлены или противоположно направлены,

то их называют коллинеарными векторами (рис. 26).

Свойство 1. Если для векторов 104251и 104256имеет место равенство 104263, то они коллинеарны и наоборот.

Если 104272, то векторы 104251и 104256сонаправлены 104279 ydXojzZ, если104284, то

противоположно направлены 104290.

Свойство 2. Если векторы 104251(a1; a2; a3) и 104256(b1; b2; b3) коллинеарны,

то их соответствующие координаты пропорциональны:

104302и наоборот.

Пример:

Найдите вектор с началом в точке А (1; 1; 1) и концом в точке В, лежащей в плоскости Оху, коллинеарный вектору 104251( 1; 2; 3).

Решение:

Тогда получаем следующие пропорции 104417.

Откуда находим 104421, 104422 J5YlIck.

Итак,104425

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях, называют компланарными векторами (рис. 27). 104230

Векторы 104429(1; 0; 0), 104432(0; 1; 0) и 104433(0; 0; 1) называют ортами (рис. 28).

Любой вектор 104440можно единственным образом разложить по ортам, то есть представить в виде 104436(рис. 29).

104456

Точно также, если заданы три нeкомпланарных вектора 104468и 104471, то любой вектор 104476можно единственным образом представить в виде:

104480.

Здесь 104483некоторые действительные числа. Тогда говорят, что вектор разложен по заданным векторам.

Скалярное произведение векторов

Углом между ненулевыми векторами 104251и 104256называют угол между направленными отрезками векторов 104494= 104251и 104498=104256, исходящих из точки О (рис. 30).

Угол между векторами 104251и 104256обозначают так 104502.

104459

Скалярным произведением векторов 104251и 104256называют произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Скалярное произведение обозначают 104504или 104506. По определению 104507(1)

Из определения следует, что если скалярное произведение векторов 104251и 104256равно нулю, то эти векторы перпендикулярны и наоборот.

В физике работа A, выполненная при движении тела на расстоянии 104517, под воздействием силы 104519(рис. 31), равна скалярному произведению силы 104522на расстояние104525: 104529

Свойство. Если 104440и 104256(b1; b2; b3), то (104590104256) = 104591

Доказательство. Приложим векторы 104590и 104256к началу

координат О (рис.32). Тогда 104494= 104599и 104601= (b1; b2; b3).

104620

Тогда 104624.

Однако, 104628,104630

и 104632.

Следовательно,104636

104638

104643.

Самостоятельно докажите, что и в случае, когда данные векторы коллинеарны 104647, также выполняется

это равенство. 104649

Свойства скалярного произведения векторов

1. 104654— переместительное свойство.

2. 104657— распределительное свойство.

3. 104660— сочетательное свойство.

4.Если векторы а и b являются сонаправленными коллинеарными

векторами, то 104664, так как соs 0° = 1.

6. 104682.

7. Если вектор 104590перпендикулярен вектору 104256, то 104685. Следствия: а) Длина вектора 104688; (1) b) косинус угла между векторами

104689 b5X9oO5: 104692; (2)

с) условие перпендикулярности векторов 105239и

105243.

105250(3)

Пример:

105056— заданные точки. Найдите косинус угла между векторами 105061.

Решение:

Найдём длины векторов 105064:

105069,

105070.

105074,

105077.

105080

Пример:

Найдите угол между векторами 105085.

Решение:

105099Итак, 105090

Пример:

Найдите 105111, если 105115, 105118и угол между векторами105123и 105129равен 105135.

Решение:

105139

105148

Пример:

Найдите координаты и длины векторов 1)105152; 2)105155, если 105160.

Решение:

Подставим в выражения искомых векторов разложения векторов 105123и 105129по координатам:

1)105174

105178. Следовательно,105183.

Тогда105190.

2)105198

105200105203.

Следовательно, 105209.

Тогда 105212

Пример:

Найдите произведение105301, если угол между векторами 105123и 105129равен 30° и 105302, 105306.

Решение:

Сначала найдём поизведение векторов 105123и 105129:

105310.

Затем перемножим заданные выражения как многочлены

и, пользуясь распределительным свойством умножения

вектора на число, получим:

105315

105318.

Учитывая, что 105321,

105324найдём искомое произведение

105330

Преобразование и подобие в пространстве

Геометрические преобразования в пространстве

Если каждую точку заданной в пространстве фигуры F изменить одним и тем же способом, то получим фигуру F1. Если при этом преобразовании различные точки первой фигуры переходят в различные точки второй, то говорят о преобразовании геометрической фигуры.

Если рассматривать все пространства как геометрическую фигуру, то также можно говорить о преобразовании геометрической фигуры.

Понятие геометрического преобразование в пространстве вводят также как на плоскости. Следовательно, свойства некоторых рассматриваeмых ниже видов преобразований и их доказательства также подобны соответствующим им на плоскости. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

Движение и параллельный перенос

В пространстве фигуры, которые можно перевести одну в другую при некотором движении называют равными фигурами.

Простейшим примером движения является параллельный перенос.

105417

Пусть в пространстве даны вектор 105423и произвольная точка Х

(рис. 44). Говорят, что точка Х перешла в точку X1 параллельным

переносом на вектор 105423, если выполняется условие 105435. Если каждую точку фигуры F сдвинуть на вектор 105423при помощи параллельного переноса (рис. 45), то получим фигуру F1. Тогда говорят, что фигура F получена параллельным переносом фигуры F1 . При параллельном переносе каждая точка фигуры F сдвигается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Каждая точка подъёмного крана, изображённого на рисунке 46, параллельно перенесена на 40 м относительно начального положения.

Пусть точка 105459фигуры F перешла в точку 105462

фигуры F1 при помощи параллельного переноса

на вектор 105469.

Тогда по определению получим:

105472или

105478.

Эти равенства называют формулами параллельного переноса.

Пример:

В какую точку перейдёт точка Р (-2; 4; 6) при параллельном переносе на вектор 105492 UHzILkN= (3; 2; 5)?

Решение:

По вышеприведённым формулам параллельного переноса: 105498.

Ответ: 105510.

Центральная симметрия в пространстве

Если в пространстве каждая точка фигуры F переходит в точку, симметричную относительно точки О (рис. 47), то такое преобразование называют симметрией относительно точки О. На рисунках 48, 49 изображёны фигуры симметричные относительно точки О. Симметрия относительно точки является движением.

Если при симметрии относительно точки О фигура F переходит в себя, то её называют центрально симметричной фигурой.

105602

Например, диагонали параллелепипеда (рис. 50) относительно их точки пересечения О являются центрально симметричными фигурами.

105624

Пример:

В какую точку перейдет точка A = (1; 2; 3) при симметрии относительно точки О (2; 4; 6)?

Решение:

105679

Из этих уравнений получаем:

105687.

Ответ: 105698

Симметрия относительно плоскости

Точки А и А1 называют симметричными относительно плоскости а,

если плоскость перпендикулярна отрезку и делит его пополам (рис. 51). Фигуры F1, и F2 на рисунке 52 симметричны относительно

плоскости а. Очевидно, что наш силуэт и его отражение симметричны относительно плоскости зеркала (рис. 53).

Симметрия относительно плоскости а является движением. 105644

Если при симмeтрии относительно плоскости фигура F переходит в себя, то её называют фигурой симметричной относительно плоскости.

Например, изображённый на рисунке 54 куб, есть фигура, симметричная относительно плоскости а, проходящей через его диагонали АА1 и СС1.

Поворот и симметрия относительно оси

105721

105725

Пусть в пространстве заданы точки А и А1 и прямая l. Если перпендикуляры АК и А1К, опущенные на прямую l, равны и образуют угол 106410, то говорят, что точка А перешла в точку А1 в результате поворота на угол 106410относительно прямой l (рис. 55).

Поворот относительно прямой также является движением.

Поворот на 180° относительно прямой l называют симметрией относительно прямой l.

Центр, ось и плоскость симметрии называют элементами симметрии. Точки, симметричные точке А (х; у; z) относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, будут иметь следующие координаты:

105746

Симметрия в природе и технике

105749

В природе на каждом шагу можно встретить симметрию.

Например, множество живых существ, в частности тела человека и животных, листья растений и цветы устроены симметрично (рис. 58). Также в неживой природе есть элементы, например, снежинки, кристаллы соли. Молекулярное строение веществ тоже состоит из симметричных фигур. Это, конечно, неспроста, поскольку симметричные фигуры не только красивы, но и самые устойчивые.

Раз так, то можно считать, что красота и совершенство природы построены на основе симметрии. Взяв за основу природную красоту и совершенство, строители, инженеры и архитекторы создают строения и механизмы, здания и сооружения, технику и транспортные средства симметричными. В этой работе им очень помогает наука геометрия.

Подобие пространственных фигур

Пусть 106518и преобразование переводят фигуру F1, в фигуру F2. Если

при этом преобразовании для произвольных точек X1 и Х2 фигуры F1 и соответствующих им точек Y1 и Y2 фигуры 106565, то это преобразование называют преобразованием подобия (рис. 59).

105800

Как видим, понятие преобразования подобия в пространстве вводится также как на плоскости. Следовательно, рассматриваемые ниже виды подобия, их свойства и доказательства этих свойств подобны соответствующим на плоскости. Поэтому, мы не будем останавливаться на их доказательствах и рекомендуем провести их самостоятельно. Преобразование подобия в пространстве отображает прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок и угол в угол. Точно также это преобразование плоскость отображает в плоскость.

Если в пространстве одна из фигур перешла в другую с помощью преобразования подобия, то эти фигуры называют подобными.

Пусть в пространстве задана фигура F, точка О и число к 105821. Преобразование, переводящее произвольную точку X фигуры F в точку Х1 удовлетворяющую условию 105839, называют гомотетией относительно центра О с коэффициентом 105843(рис. 61). Точку О называют центром гомотетии, а число 105843коэффициентом гомотетии. Если в результате такого преобразования каждой точки фигуры F получена фигура F1 то говорят, что фигура F гомотетична фигуре F1.

Вы видите, что определение гомотетии в пространстве аналогично соответствующему определению на плоскости. Следовательно, все свойства и их доказательства аналогичны. Поэтому, мы не будем доказывать их и рекомендуем провести их самостоятельно.

106828

Если же прямая или плоскость проходят через центр гомотетии, то они отображаются в себя.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Мир познаний
Добавить комментарий

Adblock
detector