Что такое сумма квадратов чисел

Сумма квадратов

Сумма квадратов встречается в ходе преобразования числовых и буквенных выражений. Как с ней работать?

Поскольку сумма квадратов является составной частью формул полного квадрата суммы и разности, можно попробовать применить одну из этих формул.

Формула полного квадрата суммы состоит из трёх слагаемых — сумма квадратов двух слагаемых плюс удвоенное произведение этих слагаемых. Следовательно, для получения полного квадрата к сумме квадратов двух выражений следует прибавить удвоенное произведение этих выражений, и, чтобы выражение не изменилось, вычесть это произведение:

quicklatex.com edbff465b4fee09d6fd34491da219ca1 l3

quicklatex.com a755901a7b40544245762148cda7eb07 l3

Аналогично, для получения полного квадрата разности следует из суммы квадратов двух выражений вычесть удвоенное произведение этих выражений и тут же прибавить его:

quicklatex.com 12d194317dc758f1baece9a80603e818 l3

quicklatex.com fb6411aead965e9962f116edda936859 l3

Рассмотрим, как эти рассуждения могут быть применены на практике.

quicklatex.com da3f9d0017d5b577977245a001f5c0ec l3

quicklatex.com f400416725c5cc5967fa791a836eb0d3 l3

quicklatex.com 8c78f8ebfbb64e7321f102d8d9bb9400 l3

quicklatex.com 276c0920ec4ba9e825dccc1b19249e3e l3

Теперь используем данные условия:

quicklatex.com 733167f5ace58a74288ba25eb0472d00 l3

quicklatex.com 1ee657a975fd604e18a1e18227dc1171 l3

quicklatex.com e4d208fe645726e638dd30ee19c285e1 l3

Эти рассуждения применяются, например, в приложении теоремы Виета, когда не решая квадратного уравнения, требуется найти сумму квадратов его корней и т.п.

Источник

Сумма квадратов всех целых чисел

Сумма квадратов чисел — математическое выражение, для которого не существует формулы сокращенного умножения. На практике иногда требуется быстро прикинуть сумму нескольких квадратов, однако без математических хитростей такое выражение подсчитать достаточно трудно.

Формулы сокращенного умножения

Для упрощения расчетов в математике используются специальные формулы сокращенного умножения, которые, по сути, представляют собой частные случаи бинома Ньютона. При помощи таких формул легко вручную подсчитать, например, квадрат суммы или разности вида:

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

в учебниках по математике вы не найдете. Естественно, она есть для комплексных чисел, тех самых, с которыми мы знакомимся в университетском курсе математического анализа. Выглядит эта формула достаточно жутко:

где i – легендарная мнимая единица, которая рассчитывается как квадратный корень из минус единицы.

В школьных примерах продвинутые ребята негласно используют формулу, которая не входит в пантеон формул сокращенного умножения:

a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab.

Эта формула идеально подходит только для вычисления суммы квадратов двух целых чисел. Но что делать, если на практике требуется сложить сумму нескольких квадратов или рациональных чисел? Здесь на сцене появляется наша программа.

Наша программа позволяет сложить сколько угодно квадратов целых и рациональных чисел. Для вычислений вам потребуется ввести числа в ячейку, отделив их пробелом. Десятичные дроби записываются и с точкой, и с запятой. Рациональные числа записываются через / (слэш). Итак, вы можете подсчитать сумму нескольких квадратных чисел, но для чего это вообще нужно?

Рассмотрим примеры работы калькулятора

Разложение на квадраты

Зачем складывать квадраты целых чисел? Почему бы не складывать их кубы или 33-е степени? Эти вопросы встают перед каждым математиком, занимающимся теорией чисел. Разложение целых чисел на сумму двух квадратов — классическая задача теории чисел, за которой стоит исследование делимости. В целом задача эта обратна теме данной статьи: вопрос ставится таким образом, что математик должен вычислить, раскладывается ли данное число на сумму двух квадратов. Некоторые ученые идут дальше и пытаются раскладывать числа на суммы квадратов последовательных чисел. Мы же просто попробуем сложить некоторые квадраты и посмотрим, что получится в результате. Итак, введем в калькулятор следующие пары чисел:

Как видите, разные пары чисел дают один и тот же результат. Кроме того, сами числа 25 и 64 являются квадратами 5 и 8 соответственно. Магия теории чисел, которую трудно применить в каких-нибудь бытовых расчетах.

Гипотенуза 5-мерного тетраэдра

Представим еще менее реальную задачу. Пятимерный тетраэдр или 5-мерный симплекс — это обобщение треугольника для пятимерного пространства. Такие причудливые идеи используются в квантовой физике, теории относительности и барицентрическом исчислении, но для решения некоторых задач от вас не потребуется глубоких знаний высшей математики. К примеру, гипотенуза пятимерного тетраэдра рассчитывается по достаточно простой формуле:

где a, b, c, d – стороны симплекса.

Для решения такой задачки достаточно ввести четыре значения в форму онлайн калькулятора и вычислить квадратный корень из результата. Допустим, стороны симплекса в условных единицах имеют следующие значения: 1, 2.3, 3/5, 0,85. Введем этим данные в ячейку через пробел и получим 7,3725. Теперь вычислим квадратный корень и выясним, что гипотенуза пятимерного симплекса равна 2,715.

Заключение

Сумма квадратов нескольких чисел — нестандартная задача, которая вряд ли встретится в обычных бытовых расчетах, как-то вычисление диаметра дачного ограждения или площади пиццы. Для нетривиальных математических расчетов вам пригодится наша программа, которая быстро вычислит сумму квадратов сколько угодно большого количества целых и рациональных чисел.

Источник

Решение формулы суммы квадратов двух чисел

АННОТАЦИЯ

В настоящей статье нами впервые предложено решение формулы сокращенного произведения, которая может широко применена в решении различных математических задач, равенств и неравенств, а также для упрощения сложных алгебраических выражений, имеющих широкое практическое применение в науке и технике.

ABSTRACT

In this article, we first proposed a solution to the abbreviated product formula, which can be used in solving various mathematical problems, equalities and inequalities, as well as to simplify complex algebraic expressions that have wide practical applications in science and technology.

Ключевые слова: формулы сокращенного произведения, сумма квадратов двух чисел.

Keywords: formulas of short multiplication, sum of squares two numbers.

Известно, что при решении задач во всех разделах математики очень часто используют формулы сокращенного произведения (ФСУ) [1. 163-182, 2. 115, 3. 134]. Эти формулы удачно используются при упрощении сложных математических выражений, при решении алгебраических, тригонометрических уравнений, неравенств, геометрических задач, учебных и научных проблем различной сложности. Ниже приведены официально всем известные ФСУ в табличном виде, из учебников Алгебры для 7 класса:

Таблица 1.

Формулы сокращенного умножения

Формула

Название

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

Квадрат суммы двух чисел

Квадрат разности двух чисел

Square of difference

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Куб суммы двух чисел

Куб разности двух чисел

Cube of difference

Сумма кубов двух чисел

Разность кубов двух чисел

Difference of cubes

Разность квадратов двух чисел

Difference of squares

Сумма квадратов двух чисел (Примечание: не разлагающаяся на члены) [8]

Sum of squares (Note: not expands) [8,10]

Наглядно видно из таблицы 1, что приведенные в ней формулы 1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8 являются формулами-парами, которые отличаются нежели только со знаками у отдельных членов в левой части равенства. Однако, решение для урувнения формулой a 2 +b 2 (8) до настоящего времени ни в официальных источниках, также в учебной и научной литературе не была приведена 1. Тому можно убедиться после ознакомления в электронных интернет учебниках на английском, так и на других языках. В них формула (8) указана как “not expands” – «не разлагающаяся на члены» 8. Также, во всех учебниках для средних образовательных школ по математике, так и в пособиях для ВУЗов Узбекистана, России и Европейских стран, написанные на узбекском, английком, так и на русском языках, формула (8), до настоящего времени обозначается как, “не разлагающаяся на члены”.

В настоящей статье нами впервые предложена конкретное решение для формулы (8), для разложения суммы квадратов двух чисел на многочлены. Она имеет решение следующего вида:

image001 (8)

Доказательство. Результат последовательного произведения многочленов в правой части формулы (8), должны равняться сумме квадратов двух чисел, в левой части равенства. Для этого применяем правила последовательного умножения для многочленов к выражениям в скобках, в правой части равенства:

image002

Примечание. Члены с одинаковыми абсолютными значениями, но с различными знаками взаимно сокращаются, как показано ниже:

image003;

image004;

image005

Конец доказательства.

Предложенная нами формула для суммы квадратов двух чисел (8) является инновационной, новой и имеет в дальнейшем практическое применение как в математике, информатике, ИТ, в точных науках в целом, так и в других отраслях науки и техники.

Список литературы

Источник

Сумма квадратов

Что такое Сумма квадратов?

Сумма квадратов – это статистический метод, используемый в регрессионном анализе для определения разброса точек данных. В регрессионном анализе цель состоит в том, чтобы определить, насколько хорошо ряд данных может быть адаптирован к функции, которая может помочь объяснить, как был создан ряд данных. Сумма квадратов используется как математический способ найти функцию, которая лучше всего соответствует (меньше всего отличается) от данных.

Формула суммы квадратов:

Сумма квадратов также известна как вариация.

Что вам говорит сумма квадратов?

Допустим, цена закрытия Microsoft (MSFT) за последние пять дней составляла 74,01, 74,77, 73,94, 73,61 и 73,40 в долларах США. Сумма общих цен составляет 369,73 доллара, а средняя цена учебника, таким образом, будет 369,73 доллара / 5 = 73,95 доллара.

Сумма квадратов – это сумма квадратов вариации, где вариация определяется как разброс между каждым отдельным значением и средним значением. Чтобы определить сумму квадратов, расстояние между каждой точкой данных и линией наилучшего соответствия возводится в квадрат, а затем суммируется. Линия наилучшего соответствия минимизирует это значение.

Как посчитать сумму квадратов

Теперь вы можете понять, почему измерение называется суммой квадратов отклонений или для краткости суммой квадратов. Используя наш приведенный выше пример MSFT, сумму квадратов можно рассчитать как:

Добавление только суммы отклонений без возведения в квадрат приведет к числу, равному или близкому к нулю, поскольку отрицательные отклонения почти полностью компенсируют положительные отклонения. Чтобы получить более реалистичное число, необходимо возвести сумму отклонений в квадрат. Сумма квадратов всегда будет положительным числом, потому что квадрат любого числа, положительного или отрицательного, всегда положительный.

Пример использования суммы квадратов

Основываясь на результатах расчета MSFT, большая сумма квадратов указывает на то, что большинство значений дальше от среднего, и, следовательно, есть большая изменчивость в данных. Низкая сумма квадратов указывает на низкую изменчивость набора наблюдений.

В приведенном выше примере 1.0942 показывает, что колебания цены акций MSFT за последние пять дней очень низки, и инвесторы, желающие инвестировать в акции, характеризующиеся стабильностью цен и низкой волатильностью, могут выбрать MSFT.

Ключевые моменты

Ограничения использования суммы квадратов

Принятие инвестиционного решения о том, какие акции покупать, требует гораздо большего количества наблюдений, чем перечисленные здесь. Аналитику, возможно, придется работать с данными за годы, чтобы с большей уверенностью узнать, насколько высока или низка изменчивость актива. По мере того, как в набор добавляется больше точек данных, сумма квадратов становится больше, так как значения будут более разбросанными.

Существует два метода регрессионного анализа, в которых используется сумма квадратов: линейный метод наименьших квадратов и нелинейный метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов относится к тому факту, что функция регрессии минимизирует сумму квадратов отклонения от фактических точек данных. Таким образом можно нарисовать функцию, которая статистически лучше всего подходит для данных. Обратите внимание, что функция регрессии может быть линейной (прямая линия) или нелинейной (кривая линия).

Источник

Что такое сумма квадратов чисел

Введение

ЗАЧЕМ СКЛАДЫВАТЬ КВАДРАТЫ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ? Почему бы не складывать их кубы или 666-е степени? Вопросы эти весьма серьезны и встают перед каждым, кто начинает изучать математику. Из огромного разнообразия задач не все достойны пристального внимания. Задача о сумме квадратов — в высшей степени достойна. К сожалению для философа, это невозможно объяснить, не рассказав ее решение и не углубившись тем самым в детали.

«Детали» — это критерий того, какие натуральные числа представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел. В доказательстве этого критерия будут использованы не только «обычные» целые числа, но и числа комплексные — прекрасный пример применения абстрактной теории к конкретной арифметической задаче! Хотя эта статья содержит лишь малую часть богатейшей теории делимости алгебраических чисел, надеемся, ее очарование никого не оставит равнодушным.

Суммы квадратов

Таблица сумм квадратов

Упражнение 1. Найдите наименьшее число, которое двумя существенно разными (т. е. не получающимися один из другого перестановкой слагаемых) способами представимо в виде суммы двух квадратов а) целых; 6) натуральных чисел.

Остатки от деления на 3

Наименьшее натуральное число, не представимое в виде суммы двух квадратов целых чисел, — это 3. Кратные 3 числа 6, 12, 15, 21 тоже не представимы, а вот числа 9 = 3 2 + 0 2 и 18 =3 2 + 3 2 — представимы. Возникает гипотеза: числа, которые кратны 3, но не кратны 9, не представимы в виде суммы двух квадратов. Эта гипотеза верна. Верно даже более сильное утверждение:

Теорема 1. Если сумма квадратов х 2 + у 2 целых чисел х, у кратна 3, то числа х, у тоже кратны 3.

Доказательство. Выпишем остатки от деления квадратов целых чисел на 3:

Квадрат 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
Остаток 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

Закономерность очевидна: остатки периодически повторяются, и никаких остатков кроме 0 и 1 не бывает.
(Точнее говоря, остаток от деления квадрата целого числа х на 3 равен 0, если х кратно 3, т. е. представимо в виде х = 3k, где k — целое число, и остаток равен 1, если x не кратно 3, т. е. представимо в виде х= 1014443 html m54571f53В самом деле, в первом случае х = 9k 2 делится на 3 без остатка, а во втором случае х 2 = 1014443 html 695e205дает при делении на 3 остаток 1.)

Суммы остатков 0 + 1 и 1 + 1 не кратны 3. Значит, сумма квадратов х 2 + у 2 кратна 3 в том и только том случае, когда х и у кратны 3.

Остатки от деления на 7

Для доказательства составим таблицу остатков от деления квадратов на 7:

Квадрат 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196
Остаток 0 1 4 2 2 4 1 0 1 4 2 2 4 1 0

Остатки, как видите, периодически повторяются. Поскольку сумма никаких двух из остатков 1, 2, 4 не кратна 7, мы доказали нашу гипотезу.

Упражнения
3. Остаток от деления квадрата целого числа х на 7 равен 0, если х = 7k, где k — целое число; равен 1, если 1014443 html 1b9eafa1равен 2, если х = 1014443 html 765b838bравен 4, если 1014443 html 2e19200Докажите это.
4. Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел кратна 21, то она кратна и 441.
5. а) Какие остатки дают квадраты целых чисел при делении на 11? б) Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел кратна 11, то она кратна 121. в) Докажите, что если сумма квадратов двух целых чисел кратна 1331, то она кратна и 14641.

Остатки от деления на 19

Например, пусть р = 19. Составим таблицу остатков от деления квадратов на 19:

Поскольку сумма никаких двух из чисел 1,4,5,6,7,9, 11, 16 и 17 не кратна 19, приходим к выводу: сумма квадратов двух целых чисел кратна 19 в том и только том случае, когда слагаемые кратны 19.

Свойство простых чисел, не являющихся суммами двух квадратов

Чем больше по величине простое число р, тем больше квадратичных вычетов по модулю р. Поэтому пора менять метод исследования: если мы не желаем погрязнуть в нескончаемых вычислениях, то должны каким-то одним общим рассуждением охватить числа 3, 7, 11, 19 и многие другие простые числа.

Пока не вполне ясно, что это за числа и чем они отличаются от чисел 2, 5, 13, 17. Впрочем, одно отличие очевидно: числа 3,7,11,19 не представимы, а числа 2, 5, 13,17 представимы в виде суммы квадратов двух целых чисел. Кроме того, простые числа р = 3, 7, 11, 19 обладают, как мы уже доказали, тем свойством, что если сумма квадратов целых чисел кратна р, то каждое из слагаемых кратно р. Продолжив (довольно утомительные, если не использовать компьютер) вычисления, можно доказать это свойство для р = 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 87. Осечки ни разу не будет:

Теорема 2. Если простое число р не представимо в виде суммы двух квадратов и если сумма квадратов х 2 + у 2 кратна р, то каждое из целых чисел х, у кратно р.

Мы получим эту теорему как одно из следствий теории целых гауссовых чисел. Поскольку это не так уж просто, давайте отвлечемся на некоторое время от теоремы 2 и обратим внимание на другое свойство рассматриваемых простых чисел 3, 7, 11. 83, 87: при делении на 4 они дают остаток 3.

Числа вида 4n + 3

В виде суммы двух квадратов не представимы не только простые числа, которые при делении на 4 дают остаток 3, но и вообще все числа 3,7, 11, 15, 19,23,27.

Теорема 3. Всякое представимое в виде суммы квадратов двух целых чисел нечетное число при делении на 4 дает остаток 1, а не 3.

Доказательство. Из двух квадратов, сумма которых нечетна, обязательно один четен, а другой нечетен. Квадрат четного числа нацело делится на 4, а квадрат нечетного числа при делении на 4 дает остаток 1 (проверьте!).

Произведение сумм квадратов

Значит, вместе с каждым представимым числом n представимо и число 2n. Далее,

Легко проверить и формулы

Все они являются частными случаями общей формулы, которая представляет произведение сумм двух квадратов в виде суммы двух квадратов. Чтобы получить ее, раскроем скобки

прибавим и отнимем 2аbху и изменим порядок слагаемых:

Теорема Ферма — Эйлера

Теорема 4. Любое простое число р, которое при делении на 4 дает остаток 1, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Мы приведем доказательство, состоящее из следующих двух лемм.

Лемма 1. Для любого простого числа р == 4n + 1, где 1014443 html 32a73abcсуществует такое целое число m, что m 2 + 1 кратно р.

Лемма 2. Любой простой делитель р числа m 2 + 1, где m — целое, представим в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

Упражнение 9. Пользуясь формулой (1), объясните, почему в лемме 2 слова «любой простой» можно заменить на «любой натуральный».

Лемму 1 мы выведем из теоремы Вильсона (1741- 1793), лемму 2 — из теории делимости целых гауссовых чисел. Но сначала сформулируем ответ на один важный вопрос.

Какие натуральные числа — суммы двух квадратов?

Этот критерий впервые был сформулирован голландцем Альбером Жираром (1595-1632) в следующем виде: натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов тогда и только тогда, когда оно является или квадратом, или числом 2, или простым числом, которое на 1 больше, чем некоторое кратное 4, или произведением нескольких вышеперечисленных чисел. Скорее всего, Жирар опирался лишь на изучение таблиц и не претендовал на то, что может доказать необходимость и достаточность своих условий.

Доказательство леммы 1

Оно дает при делении на р такой же остаток, как и число

Доказательство этой теоремы можно узнать, например, из статьи А. Егорова и А. Котовой «Необыкновенные арифметики» (Приложение к журналу «Квант» N 2 за 1994 год).

Достигнув цели, замечаешь, что ты — средство. Геннадий Малкин
ещё >>

Источник

Мир познаний
Добавить комментарий

Adblock
detector
Квадрат 0 1 4 9 16 25 36
Остаток 0 1 4 9 16 6 17
Квадрат 49 64 81 100 121 144 169
Остаток 11 7 5 5 7 11 17
Квадрат 196 225 256 289 324
Остаток 6 16 9 4 1