Что такое сумма разность произведение частность

Содержание

Что такое сумма, разность, произведение, частное в математике?
Произведение двух чисел. Что такое сумма, разность, произведение, частное в математике
Книги
Переместительный закон умножения.
Сочетательный закон умножения.
Умножение любого натурального числа на единицу.
Умножение любого натурального числа на нуль.
Как найти разность чисел в математике
Арифметические действия с числами
Разность в математике
Как найти разницу величин
Что такое сумма, разность, произведение, частное в математике?
Как найти уменьшаемое и вычитаемое число?
Математические действия с разностью чисел
Простые примеры
Более сложные примеры

Что такое сумма, разность, произведение, частное в математике?

В каких ещё значениях, не связанных с математикой, употребляются эти слова?

Я математик по образованию, специальность: учитель математики. Проработала всю жизнь преподавателем математики в педвузе.

Необходимо оговориться. Речь в дальнейшем пойдет о сумме, разности, произведении, частном чисел.

Ответы на данные вопросы хотя и простые, но вызывают затруднения у учащихся. Чтобы можно было более подробно рассмотреть эту обобщающую тему, предлагаю вашему вниманию полезный материал по ней. Заметка называется «Математика для блондинок».

Мне понравилась методика изучения.

Задается провокационный вопрос:

Пытаются заинтересовать (ни одна предложенная версия не является верной!)))

О других значениях данных слов не задумываюсь, математика затмевает все.)))

Это такие математические понятия.

Эти все понятия проходят в начальной школе.

В математике есть четыре простые операции, которые можно применить к двум числам и получить такие результаты:

I. Математические понятия СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ взаимосвязаны с математическими терминами СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ.

Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.

Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ.

Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.

СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.

Каждой паре чисел можно поставить в соответствие число, которое состоит из стольких единиц, сколько их содержится в первом числе из пары, взятых столько раз, сколько единиц содержится во втором числе из пары. Это соответствующее таким образом паре чисел (они называются сомножителями) число называется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ.

Деление есть операция, обратная умножению.

II. ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ.

Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.

СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.

Например. Профессионализм педагога заключается в сумме знаний, умений и навыков, передаваемых им своим ученикам. Отсутствие нужной суммы денег заставило отказаться от покупки.

РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ означает что-либо произведенное в процессе труда, создание чего-нибудь, продукт труда, творчества, искусства и т.п.

Например. Подруга подарила мне записную книжку с надписью «Частное». Хорошо ли противопоставлять частное общественному?

Источник

Произведение двух чисел. Что такое сумма, разность, произведение, частное в математике

Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.

Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.

СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.

Деление есть операция, обратная умножению.

Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.

СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.

РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.

Например. Подруга подарила мне записную книжку с надписью quot;Частноеquot;. Хорошо ли противопоставлять частное общественному?

По сути, все четыре слова в вопросе, а именно сумма, разность, произведение и частное, отражаю четыре основные математические действия, которые являются азами. Именно с обучения данным действиям начинается увлекательный путь в мир математики. Таким образом,

Все эти четыре термина употребляются преимущественно в математике.

Разность- это вычитание одного числа из другого;

Это такие математические понятия.

Эти все понятия проходят в начальной школе.

Суммой в математике назовем число, которое получим в результате прибавления одного числа к другом. Разность это число противоположное сложению, это когда отнимают от большего числа меньшее. Произведением назовем число, которое получится в результате умножения одного числа на другое. Разность это противомоложное произведению число. Получаем разность так: делим одно число на другое.

Необходимо оговориться. Речь в дальнейшем пойдет о сумме, разности, произведении, частном чисел.

Мне понравилась методика изучения.

Задается провокационный вопрос:

Пытаются заинтересовать (ни одна предложенная версия не является верной!)))

О других значениях данных слов не задумываюсь, математика затмевает все.)))

Слова Сумма, Разность, Произведение и Частное очень знакомо ученикам школ и других учебных заведений веди с этими определениям им приходиться на каждом уроке математики.

Суммой является результат, полученный после сложения (+) двух или более чисел.

Суммой так же является итоговая стоимость товара (сумма к оплате), общая совокупность знаний, впечатлений и много чего.

В математике означает результат вычитания числе (-).

Слово разность так же может употребляться в качестве слова разницы чего-либо. Например, разность мнений, разность взглядов, разность показателей и т.д.

Произведением является результат, полученный после умножения чисел (*).

Кроме математики это слово еще употребляется в качестве обозначения результата творческого процесса (произведение искусства), в качестве глагола от quot;производитьquot;.

Этим словом обозначают результат деления двух чисел (:).

Слово quot;частноеquot; мы так же можем услышать при обозначении принадлежности чего либо одному собственнику (частное лицо, частная собственность, частное дело).

— (product) Результат умножения. Произведение чисел, алгебраических выражений, векторов или матриц; может быть показано точкой, косой крестик или же просто написанием их последовательно один за другим, т.е. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… … Экономический словарь

Наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций. Особое место среди целых чисел, т. е. чисел. 3 … Большая советская энциклопедия

Сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? произведения, чему? произведению, (вижу) что? произведение, чем? произведением, о чём? о произведении; мн. что? произведения, (нет) чего? произведений, чему? произведениям, (вижу) что? произведения,… … Толковый словарь Дмитриева

Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

В арифметике под умножением понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «5 сложить с собой 3 раза», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется произведением, а… … Википедия

Раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… … Математическая энциклопедия

Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… … Википедия

Раздел теории чисел, в к ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а… … Математическая энциклопедия

— (в зарубежной литературе scalar product, dot product, inner product) операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов сомножителей и угол между… … Википедия

Определённая на векторном пространстве L над полем K симметричная эрмитова форма, рассматриваемая обычно в качестве составной части определения этого пространства, делающей пространство (в зависимости от типа пространства и свойств внутреннего … Википедия

Книги

Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75.

Рис. 43. Произведение чисел 25 и 3

Умножить число m на натуральное число n – значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Произведения 7 4 и 4 7 равны одному и тому же числу 28 (рис. 44).

Рис. 44. Произведение 7 4 = 4 7

Произведения (5 3) 2 = 15 2 и 5 (3 2) = 5 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).

Рис. 45. Произведение (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первым множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 n = n.

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 n = 0.

Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m 1 = m и m 0 = 0.

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.

Произведения читают, называя каждый множитель в родительном падеже. Например:

1) 175 60 – произведение ста семидесяти пяти и шестидесяти;

2) 80 (х + 1 7) – произведение р.п. р.п.

восьмидесяти и суммы икс и семнадцати

Сколько трехзначных чисел (рис. 46) можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей – любая из двух оставшихся. Получается:

Рис. 46. К задаче о составлении трехзначных чисел

Всего из данных цифр можно составить 4 3 2 = 24 трехзначных числа.

В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?

Президентом фирмы можно избрать одного из 5 человек:

После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать любого из четырех оставшихся членов правления (рис. 47):

Рис. 47. К задаче о выборах

Значит, выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента. Следовательно, общее число способов выбрать президента и вице-президента фирмы равно: 5 4 = 20 (см. рис. 47).

Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградове – три дороги (рис. 48). Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградове через село Большово?

Рис. 48. К задаче о дорогах

Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа (рис. 49).

Рис. 49. Варианты пути

Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградове.

Решим еще одну задачу.

Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?

Рис. 50. Схема к решению задачи

Получили, что каждому выбору чашки бабушкой соответствует четыре возможных выбора папы, т.е. всего 5 4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть три варианта выбора, у дочери – два, у сына – один, т.е. всего 3 2 1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5 4 3 2 1.

Заметим, что получили произведение всех натуральных чисел от 1 до 5. Такие произведения записывают короче:

5 4 3 2 1 = 5! (читают: «пять факториал»).

Факториал числа – произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.

Итак, ответ задачи: 5! = 120, т.е. чашки между членами семьи можно распределить ста двадцатью способами.

Разберем понятие умножение на примере:

Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.

Решение:
Рассмотрим задачу подробно.

В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.

Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22

Подведем итог. Что такое умножение?

Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.

В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:

Переместительный закон умножения.

Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.

Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.

Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m ⋅ n =n⋅ m

Сочетательный закон умножения.

Рассмотрим на примере:

Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.

Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.

Эти законы верны для любых натуральных чисел.

Умножение любого натурального числа на единицу.

Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a ⋅1=a или 1⋅ a = a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.

Умножение любого натурального числа на нуль.

6⋅0=0 или 0⋅6=0
a ⋅0=0 или 0⋅ a =0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.

Вопросы к теме “Умножение”:

Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.

Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.

Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0

Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27

Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с

Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.

Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.

Источник

Как найти разность чисел в математике

Арифметические действия с числами

Основными арифметическими действиями в математике являются:

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

Разность в математике

Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

И все эти определения являются верными.

Как найти разницу величин

Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.

Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

Что такое сумма, разность, произведение, частное в математике?

I. Математические понятия СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ взаимосвязаны с математическими терминами СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ.

Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.

Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ.

Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.

СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.

Вычитание — это операция, обратная сложению. Она состоит в нахождении одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Данная сумма называется уменьшаемым, данное слагаемое — вычитаемым, а искомое слагаемое — РАЗНОСТЬЮ.

РАЗНОСТЬ — это число, являющееся результатом вычитания, остаток вычитания.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ — это результат умножения.

Деление есть операция, обратная умножению.

Деление — это нахождение одного из сомножителей по произведению и другому сомножителю. Данное произведение называется делимым, данный сомножитель — делителем, а искомый сомножитель — это ЧАСТНОЕ, то есть число, полученное от деления одного числа на другое.

II. ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ.

Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.

СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.

РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ означает что-либо произведенное в процессе труда, создание чего-нибудь, продукт труда, творчества, искусства и т.п.

Например. Высокое художественное произведение заставляет человека думать над своей жизнью. На конкурсе юных пианистов мальчик играл произведение П.И. Чайковского. Эта шкатулка — настоящее произведение искусства.

ЧАСТНОЕ — это что-то личное, персональное, принадлежащее только одному человеку, это его собственность, его и только его достояние. И будь то самоличные мысли, будь то имущество или что-нибудь другое, но оно принадлежит только ему, частному лицу.

Как найти уменьшаемое и вычитаемое число?

Как в математике найти разницу чисел мы уже разобрались. Это довольно просто. Но сможем ли мы найти уменьшаемое и вычитаемое число, если одно число неизвестно? Конечно можем, так как нам будут известны два других числа. Например, как мы можем найти уменьшаемое число? Если мы знаем значение разницы и вычитаемого, то сумма этих двух чисел равняется уменьшаемому:

Вычитаемое находится так же просто. Если мы знаем разницу и уменьшаемое, значит вычитаемое мы получим, отняв от уменьшаемого числа разность:

Натуральные числа

Математические действия с разностью чисел

Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.

Простые примеры

Пример 1. Найти разницу двух величин.

20 — уменьшаемое значение,

Ответ: 5 — разница величин.

Пример 2. Найти уменьшаемое.

32 — вычитаемое значение.

Решение: 32 + 48 = 80

Пример 3. Найти вычитаемое значение.

17 — уменьшаемая величина.

Ответ: вычитаемое значение 10.

Более сложные примеры

На примерах 1—3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.

Пример 4. Найти разницу трёх значений.

Даны целые значения: 56, 12, 4.

56 — уменьшаемое значение,

12 и 4 — вычитаемые значения.

Решение можно выполнить двумя способами.

1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):

1) 56 — 12 = 44 (здесь 44 — получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым),

2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):

1) 12 + 4 = 16 (где 16 — сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым),

Ответ: 40 — разница трёх значений.

Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.

Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где

4/5 — уменьшаемая дробь,

Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.