Что такое сумма углов многоугольника

Правильный выпуклый многоугольник – многоугольник все стороны и внутренние углы которого равны.

Внутренний угол правильного \( \displaystyle n\)-угольника равен \( \displaystyle \alpha =\frac\cdot 180<>^\circ \).

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и окружности, описанной около него, совпадают.

Если многоугольник такой, что в него можно вписать окружность, то его площадь выражается формулой: \( \displaystyle S=pr\), где \( \displaystyle p=\frac<<_<1>><_<2>>+<_<2>><_<3>>+…+<_><_<1>>><2>\).

Многоугольник — подробнее

Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять \( \displaystyle n\) каких-либо точек \( \displaystyle <_<1>>,\text< ><_<2>>,\text< >…,

При этом смежные стороны (имеющие общую вершину) не должны лежать на одной прямой, а несмежные стороны не должны иметь общих точек (то есть не должны пересекаться).

Многоугольник с \( \displaystyle n\) сторонами называют \( \displaystyle n\)-угольником.

Произвольные многоугольники

Давай-ка нарисуем, какие бывают многоугольники.

А теперь вопрос: какой из этих многоугольников выпадает из ряда?

Посмотри внимательно на второй многоугольник — он отличается от всех остальных. Чем же?

Это не выпуклый многоугольник. Это, конечно, математическое название, но с человеческой интуицией не расходится.

Ну вот, а мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, то есть такие, как 1),3),4) и т.п.

Итак, основной факт:

В любом многоугольнике сумма внутренних углов равна \( \displaystyle 180^o(n-2)\), где буква «\( \displaystyle n\)» означает число углов многоугольника.

Давай сразу к примерам:

Четырехугольник

Пятиугольник

Шестиугольник

Ах да, про треугольник забыли.

Треугольник

Сумма углов многоугольника. Доказательство.

А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула суммы углом многоугольника \( \displaystyle 180^\circ(n-2)\).

Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач.

Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников.

Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.

Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:

Всего вершин: \( \displaystyle n\)

Из вершины \( \displaystyle B\) можем провести диагонали во все вершины, кроме:

Значит всего диагоналей \( \displaystyle (n-3)\). А на сколько треугольников распался наш многоугольник?

Представь себе: на \( \displaystyle n-2\). Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.

Итак, у нас ровно \( \displaystyle n-2\) треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник.

Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Ну вот, \( \displaystyle n-2\) треугольника, в каждом по \( \displaystyle 180<>^\circ \), значит:

Сумма углов многоугольника равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)\( \displaystyle (n-2)\)

Что же из этого может оказаться полезным? Два момента:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Правильные многоугольники

Многоугольник называется правильным, если все его углы и все его стороны равны.

Так, например: квадрат – правильный четырехугольник, а вот прямоугольник – нет, хоть и все углы у него равные, и ромб – нет, хоть и все стороны равны. Нужно непременно, чтобы все углы и все стороны были равны.

Первый вопрос:

А можно ли найти величину одного (а значит и всех) угла правильного многоугольника?

Давай посмотрим на примере.

Пусть есть, скажем, правильный восьмиугольник:

Сумма всех его углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \left( 8-2 \right)=1080<>^\circ \).

А сколько всего углов? Восемь конечно, и они все одинаковые.

Значит любой угол, скажем \( \displaystyle \angle A\) можно найти:

\( \displaystyle \angle A=\frac<1080<>^\circ ><8>=135<>^\circ \).

Что мы еще должны знать?

Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

При этом центры этих окружностей совпадают.

Смотри, как это выглядит!

И более того, всегда можно посчитать соотношение между радиусом вписанной и описанной окружностей.

Давай опять на примере восьмиугольника.

Посмотри на \( \displaystyle \Delta OKG\). В нем \( \displaystyle OK=r,OG=R.\)

Значит, \( \displaystyle \frac=\sin \angle x\) – и это не только в восьмиугольнике!

Чему же равен в нашем случае \( \displaystyle \angle x\)?

Ровно половине \( \displaystyle \angle G\), представь себе!

Значит \( \displaystyle \angle x=\frac<135<>^\circ ><2>=67,5<>^\circ \).

Смешно? Но так и есть! Поэтому для восьмиугольника \( \displaystyle \frac=\sin 67,5<>^\circ \).

Может возникнуть еще один вопрос: а можно ли посчитать углы «около» точки \( \displaystyle O\)?

И тот же ответ: конечно можно!

Опять рассмотрим наш восьмиугольник. Вот мы хотим найти \( \displaystyle \angle \alpha\) (то есть \( \displaystyle \angle HOG\)).

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

И так можно все находить не только для восьмиугольника, но и для любого правильного многоугольника.

Бонус. Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ 6. Описанная окружность. Многоугольники

Вы этом видео вы узнаете, что такое описанная окружность, где находится её центр, и другие свойства.

Около каких фигур можно, а вокруг каких нельзя описать окружность.

Также мы узнаем, что такое правильные многоугольники, и какие у них свойства; как они связаны с описанной окружностью.

Научимся решать задачи из ЕГЭ на описанную окружность и правильные многоугольники.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

А теперь твоя очередь!

Теперь ты знаешь все о многоугольниках!

Особенно эти знания пригодятся тебе, когда будешь решать задачи про окружности. Задачи олимпиадного уровня. Да и просто так знать полезно 🙂

А сейчас мы хотим услышать тебя. Понравилась ли тебе статья? Ты во всем разобрался?

Кстати, пытался строить многоугольники циркулем?

Напиши в комментариях ниже!

И задай любые вопросы, если они возникли! Мы непременно ответим!

Добавить комментарий Отменить ответ

3 комментария

Як разбить чатырох угольник так, чтоб палучился трохвугольник и чатырохвугольник

Даша, например, можно провести отрезок из вершины в середину противоположной стороны.

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Сергей
19 февраля 2018
Просто огромное спасибо. Хоть что-то начал понимать.

Александр (админ)
19 февраля 2018
Просто огромное пожалуйста. 🙂 Очень приятно слышать от вас такие слова.

Вероника
18 марта 2020
Спасибо большое, а то на карантине приходится самим разбирать темы!

Александр (админ)
18 марта 2020
Отлично, Вероника! Круто, что ты сама пытаешься разобраться с математикой! Этот навык ой как пригодится в будущем. Я всегда говорю: «В жизни репетитора и учителя рядом не будет». И я рад, что наш скромный сайт в этом помогает. Удачи на экзаменах! Все будет хорошо!

Сима
01 июля 2020
Блин, действительно очень круто изложили. А главное- понятно и просто. Начала подготовку к егэ, в следующем году сдавать. Очень помогли разобраться с этой темой! Спасибо)

Александр (админ)
01 июля 2020
Блин, Сима, до чертиков приятно слышать такие слова! 🙂 Если начала подготовку к ЕГЭ, то будь на связи, мы сейчас делаем крутейший курс подготовки к ЕГЭ, где вот так вот просто все будет объяснять Алексей Шевчук.

Источник

Сумма углов многоугольника

(о сумме углов выпуклого многоугольника)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

(n — количество сторон многоугольника).

Другой вариант формулировки этой теоремы:

Сумма внутренних углов выпуклого n — угольника равна 180º(n-2).

1-й способ

Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.

Соединим точку O с вершинами многоугольника.

Получили n треугольников.

Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.

Так как сумма углов при вершине O составляет 360º

то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.

Таким образом, искомая сумма углов n угольника равна

2-й способ

Соединим вершину A1 со всеми остальными вершинами многоугольника. Получили n-2 треугольника.

Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника.

Сумма углов углов каждого из треугольников равна 180º.

Следовательно, сумма углов многоугольника

Что и требовалось доказать.

4 Comments

Нужно либо поменять название статьи, либо добавить в текст информацию о невыпуклых многоугольниках.
А так сайт оказался полезным, спасибо!

Ольга, спасибо. Подкорректирую в июне.

Очень хороший сайт! Давно им пользуюсь. Спасибо за Ваш труд!

Источник

Многоугольники

Определение многоугольника

Диагонали n – угольника

Внешний угол многоугольника

Свойства углов треугольника

Свойства углов многоугольника

Свойства углов правильного n – угольника

Доказательства теорем о свойствах углов многоугольника

Определение многоугольника

Рассмотрим n отрезков

причём таких, что два любых отрезка, имеющих общий конец, не лежат на одной прямой (рис.1).

В случае, когда точки A₁ и A_{n +1} совпадают, ломаную линию называют замкнутой ломаной линией (рис. 2), в противном случае её называют незамкнутой (рис.1).

Число диагоналей n – угольника равно

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника

Фигура	Рисунок	Описание
Диагональ многоугольника		Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины		Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника
Все диагонали n – угольника
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины
Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника
Все диагонали n – угольника
Число диагоналей n – угольника равно Внешний угол многоугольника Свойства углов треугольника Сумма углов треугольника равна 180° Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним Сумма углов треугольника равна 180° Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним Свойства углов многоугольника Фигура Рисунок Формулировка теоремы Углы треугольника Сумма углов многоугольника равна Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360° Сумма углов многоугольника равна Фигура Рисунок Формулировка теоремы Углы n – угольника Внешние углы n – угольника Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360° Свойства углов правильного n – угольника Все углы правильного n – угольника равны Все внешние углы правильного n – угольника равны Все углы правильного n – угольника равны Фигура Рисунок Формулировка теоремы Углы правильного n – угольника Внешние углы правильного n – угольника Все внешние углы правильного n – угольника равны Доказательства свойств углов многоугольника Получим n треугольников: что и требовалось доказать. В соответствии рисунком 6 справедливы равенства Источник Добавить комментарий Отменить ответ Имя * Email * Комментарий Сохранить моё имя, email и адрес сайта в этом браузере для последующих моих комментариев. Вам также может понравиться Какое самое большое число в мире Принято считать, что концепция чисел появилась еще 0154 Сколько всего ресторанов Макдональдс в мире В середине апреля 1955г. в США был открыт первый ресторан 0160 Какая самая богатая страна в мире Интересуетесь, кто же получил статус богатейшего государства 0151 Где находится Микронезия на карте мира Наверняка вы даже и не подозревали о существовании 0133 О команде Правообладателям Политика конфиденциальности Adblock detector