Что такое сумма углов

Сумма углов треугольника

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Источник

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: АВС (рис. 220).

Доказать: A+B +C = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда KBA =A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aMBC =C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

KBA +ABC +MBC = 180°. ОтсюдаA +B +C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, то1 =2.

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Решение:

Пусть ( — градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Тогда

Ответ:

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Решение:

Из треугольника АОС находим:

Замечание. Если то, рассуждая аналогично, получим формулу: Если, например,

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, (рис. 226).

Докажем, чтоACB = 90°. Обозначим A = ,В = . Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как АМС — равнобедренный, тоA =ACM = как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, СМВ — равнобедренный и B =BCM = . Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 + 2, с другой — равна 180°. Отсюда 2 + 2 = 180°, 2( + ) = 180°, + = 90°. НоACB = + , поэтому

ACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) C=90°,A=,B=.

Проведем отрезок СМ так, чтоACM=, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aBCM дополняетACM до 90°. Поскольку ACM =A = , тоBCM =. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = АВ.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Чему равна сумма углов?

Просто мне нужно объяснить. Но не просто объяснить, а чтобы ещё стало понятно!

Е. Гришковец «Одновременно»

Разговор покупателя с продавцом в магазине «Ткани».

— Здравствуйте! Я шью дома и сама делаю выкройки. Для этого использую угольник с различными углами. Мне нужны чаще всего 90, 60 и 45 градусов, но они у меня в разных угольниках. Приходится перекладывать. Нет ли у вас угольника, в котором были бы именно эти углы?

— Вы знаете, среди тех, что я вижу, нет, но вы заходите, такие должны на днях привезти.

— Большое спасибо, обязательно зайду.

Для математического уха разговор выглядит комично. То, что сумма углов треугольника равна 180°, знают даже школьники, не очень увлечённые математикой. А что такое 180° и почему именно 180? Ясно, скажет умный школьник, это половина от 360, то есть полного оборота.

Невозможно точно сказать, почему окружность была разбита на 360 одинаковых частей и когда это произошло. То ли это персы придумали, у которых год длился 360 дней, то ли вавилоняне, которым удобно было делить окружность на 6 равных частей с помощью равностороннего треугольника.

Была, правда, попытка ввести более логичную, с точки зрения современных представлений о счёте, шкалу для угловых мер. Она делила окружность на 400 равных частей — градов. В этой шкале величина прямого угла равнялась 100 градам. Однако шкала эта не прижилась. Трудно одним желанием изменить пятитысячелетнюю историю цивилизации. Да впрочем, какая разница, в чём мерить, хоть в попугаях, главное — понять, что угол — это некоторая доля от полного оборота.

Почему же сумма углов любого треугольника равна в точности половине полного оборота? Давайте представим себе, что у нас есть три прожектора. Каждый освещает внутренность некоторого угла до бесконечности (жить мы будем временно в двумерном мире). Если мы, стоя в одной точке, включим три прожектора (зелёный, розовый и жёлтый на рисунке), сумма «световых углов» которых равна 180°, и направим их без наложений освещаемой площади, то осветим ровно половину нашего двумерного пространства.

Теперь рассмотрим произвольный треугольник и в вершинах его поставим трёх помощников (Али, Бен и Сирил по буквам вершин, но можно попросить Анну, Варвару и Светлану), доверив им по прожектору. Каждый помощник должен осветить внутренность треугольника лучами света, которые выходят из вершины и продолжаются до бесконечности. Таким образом, каждый прожектор будет освещать внутренность своего угла и не будет освещать внутренность такого же угла, вертикального выбранному. При этом каждая точка плоскости либо попадёт внутрь освещённого угла, либо не будет освещена, попав в вертикальный угол к углу треугольника. Точки же самого треугольника будут освещены трижды. Теперь давайте посмотрим на нашу частично освещённую плоскость с большой высоты (мы-то, как люди трёхмерные, имеем на это право). Если закрыть глаза на небольшой участок перекрытия внутри треугольника, то нетрудно понять, что мы осветили «ровно» половину плоскости. Из чего и можно заключить, что сумма углов произвольного треугольника равна 180°!

Если наше маленькое жульничество внутри треугольника режет глаз, давайте отойдём далеко-далеко от плоскости и забудем, что где-то стоят наши помощники. Нарисуем окружность огромного радиуса с центром где-то внутри треугольника. Какая часть окружности освещена? Ровно (почти) половина. И чем больше радиус нашей окружности, тем меньше будут отличаться освещённая и тёмная части окружности. Ведь каждой светлой дуге будет в пару поставлена такая же тёмная.

Не будем останавливаться на сумме углов треугольника, а попробуем развить эту идею. Самое естественное продолжение — четырёхугольник. Нетрудно понять, что четыре помощника, выполняя аналогичное задание, осветят всю плоскость, что значит: сумма углов четырёхугольника равна 360°. Стоп! Давайте не торопиться, отойдём подальше. Что мы видим? Ужас! Некоторые точки плоскости вообще не освещены. Всё пропало? Не будем паниковать преждевременно. Продолжим наши прямые до бесконечности. На рисунке серым цветом закрашена неосвещённая часть плоскости. Посмотрим внимательно на вертикальный с ней угол. Он освещён, конечно, но освещён дважды! А значит, и здесь всё сходится. Так и должно быть, ведь четырёхугольник можно просто разрезать на два треугольника. Думаем дальше.

Нарисуем пятиконечную звёздочку (не обязательно правильную). Теперь позовём пять фонарщиков, поставим их в вершинах «лучиков» нашей звёздочки, и пусть каждый освещает внутренность того угла, в котором стоит. Соответственно, вертикальный угол освещён не будет. Что мы видим? Картина почти такая же, как у треугольника. Половина плоскости светлая, половина тёмная, а значит, сумма углов пятиконечной звезды равна 180°!

При этом мы нигде не пользовались какими-то особенностями формы этой звёздочки. Более того, а где мы считали количество углов? Давайте внимательно посмотрим на 7-конечную звезду. А потом на 2021-конечную (нарисовать непросто, а представить можно). Что изменится для суммы? Да ничего — половина светлого, половина тёмного. Правда, для большого числа углов нужно «правильно» рисовать звёздочку. Например, для семиугольной конструкции можно привести два примера. Подсчитайте самостоятельно сумму для «более тупоугольной» звёздочки.

Теперь давайте немного развернём наших фонарщиков и дадим им задание осветить один из своих внешних углов. Для начала позовём четверых, поставим их в вершинах выпуклого четырёхугольника. Нетрудно понять, что они осветят всё, кроме самого четырёхугольника. Удаляясь от них, мы поймём, что сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

Также при достаточном удалении мы забудем о количестве помощников, а когда вспомним, поймём, что это совершенно неважно. Сколько бы их ни было, плоскость будет освещена полностью и без перекрытий. Из этого следует чрезвычайно важный и удивительный вывод: сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°!

Продолжая применять этот метод, можно получить и другие формулы для суммы углов. То есть если внимательно посмотреть на количество перекрытий, можно вывести формулу для суммы углов выпуклого многоугольника. Но даже без вывода становится понятно, почему сумма внутренних углов зависит от их количества, а сумма внешних нет. Попробуйте развить эту идею на случай невыпуклых многоугольников. Можно, немного поломав голову, найти сумму внутренних углов, а вот для суммы внешних надо сначала понять: что такое внешний угол невыпуклого многоугольника? Успехов в вашем исследовании!

P. S. А угольник 45°, 60° и 90°, оказывается, существует! Это специальный портновский угольник — треугольник, в котором сделаны треугольные дырки с другими углами. И речь в магазине «Ткани», оказывается, совсем не шла о сумме углов треугольника.

Источник

Геометрия. Урок 2. Углы

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Источник