Что такое сумма векторов определение

Содержание
  1. Основные сведения о сумме двух векторов
  2. Основные понятия
  3. Сумма сонаправленных и противоположно направленных векторов, правило треугольника
  4. Как вычислить координаты суммы двух векторов, пояснение на примерах
  5. Примеры решения задач
  6. Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
  7. Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
  8. Покоординатное сложение векторов.
  9. Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
  10. Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
  11. Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.
  12. Сложение векторов
  13. Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение
  14. Сложение двух векторов
  15. Сложение нескольких векторов
  16. Умножение вектора на число
  17. Свойства операций над векторами
  18. СУММА ВЕКТОРОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Основные сведения о сумме двух векторов

Основные понятия

Направленный отрезок, то есть отрезок, который имеет длину и определенное направление, носит название вектора.

Обозначается буквенным символом со стрелкой над ним:

Сонаправленные векторы — это векторы, направления которых совпадают (одинаковые по направлению).

Противоположно направленные векторы — это векторы, которые направлены в разные стороны.

С векторами можно производить такие операции, как:

Для начала, рассмотрим подробно сложение.

Сложение (сумма) векторов «a + b» — это операция вычисления вектора c, все элементы которого равны попарной сумме соответствующих элементов векторов a и b, то есть каждый элемент вектора c равен:

Сложение векторов может осуществляться по трем правилам:

Сумма сонаправленных и противоположно направленных векторов, правило треугольника

Правило треугольника заключается в следующем: для того чтобы сложить два сонаправленных вектора, необходимо из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго. Конечный вектор и будет суммой двух векторов.

Чертеж поможет наглядно объяснить правило:

AC — сумма векторов.

Разность векторов a и b является суммой векторов a и -b.

Как вычислить координаты суммы двух векторов, пояснение на примерах

Кроме геометрического способа сложения (вычитания) векторов (правила треугольника, параллелограмма, многоугольника), существует способ сложения координат векторов.

Для того чтобы найти координаты суммы двух векторов, нужно сложить их соответствующие координаты по следующей формуле:

Найти сумму векторов a(7;5) и b(3;8)

Найти сумму координат векторов a(-7;2), b(-3;6), c(6;-5)

Примеры решения задач

Найти сумму векторов a(1;2), b(7;9)

Найти разность координат векторов a(4;-6), b(5;-1)

Источник

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

Покоординатное сложение векторов.

1

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

2

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

vectorparallelogram

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.

vectortriangle

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Источник

Сложение векторов

Сумма векторов

quicklatex.com 6c4235ab6f722f991eb58b9b706362d9 l3

quicklatex.com 706a63e8ea8904e6ab52e4a085990b4d l3

quicklatex.com 3ee9f36d72cb97cf9d8acc930edd6b7f l3

quicklatex.com 3a2905a6f32b74aced2c40f843646a97 l3

quicklatex.com 4f54950e3b81d5c00fa28e06462c9404 l3

Свойства сложения векторов:

Для любых векторов

quicklatex.com 5f37e553799b96465b57f20599fd7ba5 l3

quicklatex.com a879392c125b05491e45b78d34c3cc73 l3

quicklatex.com a46f4fb261b161859f0b24280ae2d6f3 l3

3) свойство прибавления нулевого вектора:

quicklatex.com ad8ab80f66f52a370d199388ab4d7799 l3

4) сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

quicklatex.com 4ecde666534fb81480578577ebac19d9 l3

Достаточно сравнить координаты векторов, стоящих в левой и правой частях этих равенств:

quicklatex.com ebf587a4bbd659b9e1ee1088ba96c7d8 l3

quicklatex.com 92f5cb87531eee4a81a9ece523510695 l3

Так как соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.

quicklatex.com e764f6af5e179d4eeb2b0027103d73df l3

quicklatex.com 9c4b4472f4afa76d484f76da1cf06be1 l3

quicklatex.com 81dc9f65cb9992150a235b6524b81e34 l3

quicklatex.com 867d8c78a70038a943c2e9551151c2c1 l3

quicklatex.com e1dc6bad3cd64941d57b463566c6f330 l3

quicklatex.com dc66062b45366633f91776d66a2e3721 l3

quicklatex.com 6911d342332b7b411418536f4294063e l3

(О сложении векторов)

Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет место векторное равенство:

quicklatex.com a1c30ae218fad5de53117a4daf357430 l3

quicklatex.com c8defc5012fcbaafe14fa549d86ff50b l3

quicklatex.com 029b845c52711f7f3c7b936dc6c53918 l3

quicklatex.com 01804304968aa7d45c896f2a5e755cac l3

quicklatex.com ecb3a0f731bafa332932cfe9d518820a l3

quicklatex.com 521484d86f3e6834817d2a96be0a76f8 l3

Что и требовалось доказать.

Правило треугольника построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу треугольника, надо от конца одного вектора отложить другой вектор и провести вектор от начала первого к концу второго вектора.

summa vektorovНапример,

quicklatex.com 3f0b3cae857105077bc30d37214a3130 l3

(то есть это правило следует из теоремы о сложении векторов).

Правило параллелограмма построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу параллелограмма, надо отложить эти векторы от общего начала. Сумма векторов есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах и имеющая с ними общее начало.

slozhenie vektorovНапример,

quicklatex.com d8044aac4cafbb0ac4f456396fa2a4cd l3

Правило параллелограмма построения суммы векторов применяется лишь для неколлинеарных векторов.

При любом способе построения суммы неколлинеарных векторов получим одинаковый результат.

postroit summu vektorovПостроить сумму векторов

quicklatex.com 4048051a28484b09402dd5821aaaf035 l3

summa vektorov po pravilu treugolnika

1) Чтобы построить сумму векторов по правилу треугольника, отложим от конца вектора

quicklatex.com c794a2e31016e53c7c781d94da78b505 l3

quicklatex.com 043ea2b051810223c21e4541b7078fee l3

Сумма этих векторов равна вектору, проведённому от начала первого вектора (a) к концу второго (b).

2) Чтобы построить сумму векторов по правилу параллелограмма, отложим векторы

quicklatex.com 5a6ecca35e71d5b54452f49e95ecb64f l3

Достроим на этих векторах параллелограмм.

summa vektorov po pravilu parallelogrammaСумма

quicklatex.com 8855f979d15e4b948dd21d220cfc0aa0 l3

равна вектору, лежащему на диагонали параллелограмма и имеющему с ними общее начало.

1) Сумма двух сонаправленных коллинеарных векторов равна вектору, сонаправленному этим векторам, длина которого равна сумме длин данных векторов.

slozhenie kollinearnyh vektorov

2) Сумма двух противоположно направленных векторов равна вектору, направление которого совпадает с направлением вектора, модуль которого больше, а длина равна разности этих векторов.

summa kollinearnyh vektorov

Фактически в обоих случаях мы используем правило треугольника сложения векторов:

от конца первого вектора откладываем вектор, равный второму, и строим сумму как вектор в направлении от начала первого вектора к концу второго.

Из неравенства треугольника следует ещё два свойства сложения векторов:

Источник

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

image011

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

image012

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Геометрически оно выглядит следующим образом:

image017

Умножение вектора на число

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

image022

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Источник

СУММА ВЕКТОРОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

caret left.c509a6ae019403bf80f96bff00cd87cd

caret right.6696d877b5de329b9afe170140b9f935

ТЕМА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Программы письменных теоретических опросов(на 10 минут)

Первый теоретический опрос.

Знать определения: направленного отрезка, нулевого направленного отрезка, длины направленного отрезка, коллинеарных направленных отрезков, сонаправленных и противоположно направленных направленных отрезков, вектора, длины вектора, коллинеарных векторов, сонаправленных и противоположно направленных векторов, противоположных векторов, вектора параллельного плоскости, компланарных векторов. Суммы векторов, разности векторов, произведения вектора на число.

Знать формулировки: свойства сложения векторов, свойства произведения вектора на число, теорему о разности векторов, теорему о коллинеарных векторах, теорему о компланарных векторах.

Второй теоретический опрос.

Знать определения: системы линейно зависимых и линейно независимых векторов, базиса векторного пространства, ортонормированного базиса, координат вектора в данном базисе, угла между векторами, скалярного произведения векторов.

Знать формулировки: свойства систем линейно зависимых и линейно независимых систем векторов, теоремы 1, 2, 3 о линейной зависимости систем из одного двух и трех векторов и следствия из них, теорема о координатах вектора, теорему о вычислении скалярного произведения в ортонормированном базисе и следствия из нее, свойства скалярного произведения векторов.

СУММА ВЕКТОРОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Вектором называется множество всех направленных отрезков пространства, любые два из которых сонаправлены и имеют равные длины, эти направленные отрезки будем называть представителями вектора а. Векторы будем обозначать жирными буквами, например, вектор а, Если направленный отрезок image002 image004а, то вектор а можно обозначать АВ.

Длиной вектора называется длина любого его представителя.

Векторы а и b называются сонаправленными, если любые два их представителя сонаправленны, будем обозначать сонаправленные векторы так: а ↑↑b. Векторы а и b называются противоположно направленными, если любые два их представителя противоположно направлены, будем обозначать противоположно направленные векторы так: а ↑↓b.

Вектор называется параллельным прямой, если любой его представитель либо параллелен прямой, либо лежит на этой прямой. Два вектора а и b называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Коллинеарные векторы будем обозначать так а││ b.

Вектор называется параллельным плоскости, если любой его представитель либо параллелен плоскости, либо лежит в этой плоскости. Три и более векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. (Любые два вектора компланарны)

Если дан вектор а и точка О, то существует единственная точка А, такая, что АВ = а, будем в этом случае говорить, что вектор а отложен от точке А. Договоримся под словами «построить вектор а» понимать отложить вектор а от какой либо точки О, т.е. построить точку А такую, что а = ОА.

Противоположными векторами называются такие два вектора, которые противоположно направлены и длины которых равны. Вектор, противоположный вектору а, обозначается так (— а).

Суммой векторов а иb называется вектор с, который получается следующим образом: от произвольной точки А отложим вектор АВ = а, от точка В отложим вектор ВС =b, тогда с = а +b = АС. Указанное в этом определении правило сложения векторов называется правилом треугольника. (Рис. 1) Если векторы а и b не коллинеарны, то можно от произвольной точки О отложит векторы ОА = а иОВ =b, построить параллелограмм ОАСВ, тогда вектор ОС = а +b. Сложение векторов по этому правилу называется правилом параллелограмма (Рис. 2) image005

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1°. Для любого вектора а а + 0 = 0 + а.

2°. Для любого вектора а а + (- а) = (- а) + а = 0.

3°. Для любых векторов а и ba + b = b + a (свойство коммутативности).

4°. Для любых трех векторов a, b, c (a + b)+ c = a + (b + c) (свойство ассоциативности).

Произведением числоλ на вектор а(или произведением вектора а на число λ )будем называть вектор b = λ а, удовлетворяющей двум условиям: 1)длина вектора b равна произведению модуля числа λ и длины вектора аb│= │ λ ││а│, 2) если λ image0070, то вектор b сонаправлен с вектором а, если λ 640 1

image009

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

1°. Для любого вектора а 1 а = а.

2°. Для любого вектора а 0 а = а.

3°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ β) а = λ (β а).

4°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ+ β) а = λ а + β а.

5°. Для любых векторов а и b любого числа λ λ(a + b) = λa + λb.

Для решения задач данного раздела целесообразно придерживаться следующих рекомендаций: а) если надо построить алгебраическую сумму векторов, то все векторы со знаками минус заменяем на противоположные векторы со знаками плюс, б) сумма п векторов не изменится, если поменять местами любые два вектора, в) для построения суммы п векторов строим эту сумму по правилу п-угольника, т.е. сначала выбираем направленный отрезок из первого вектора, затем от его конца откладываем направленный отрезок из второго вектора, затем от конца этого отрезка откладываем направленный отрезок из третьего вектора и так далее, тогда соединив начало первого направленного отрезка с концом последнего направленного отрезка, получим направленный отрезок из искомой суммы.

ЗАДАЧА № 1

Дан правильный шестиугольник АВСДEF с центром О. Построить вектор

АВEF +2ОF.

F

image010

1) АВEF +2ОF = АВ + FE+2ОF

2) Рассмотрим направленный отрезок image002, от точки В отложим направленный отрезок image012из вектора FE,затем от точки С отложим направленный отрезок image014из вектора 2ОF.

Тогда АВEF +2ОF = АF.

ОТВЕТ. Искомая сумма равна вектору АF.

ЗАДАЧА № 2.

— ½ С1А1 +СА1ДА + ½ (СВВ1А1)

image015

1) – ½ С1А1 +СА1ДА + ½ (СВВ1А1) = ½ А1С1 +СА1 + АД+ ½ СВ + ½ А1В1

2) Поменяем местами слагаемые ½А1С1 +СА1 + АД+ ½ СВ + ½ А1В1 =

АД +½СВ +½А1В1 + ½А1С1 + СА1

3) Откладываем направленные отрезки из данных векторов следующим образом:

image017 image019АД, image021 image019½СВ, image024 image019½А1В1, image026 image019½А1С1, image028 image019 СА1, где М – середина АД, О = АС image030ВД.

АД +½СВ +½А1В1 + ½А1С1 + СА1 = АА1.

Замечание. Задачи такого типа имеет разные пути решения, но ответ должен быть один и тот же.
При решении данной задачи можно было рассуждать следующим образом:

– ½ С1А1 +СА1ДА + ½ (СВВ1А1) = ½ А1 С1 +СА1 + АД + ½ (СВ +

А1 В1) = ½ АС + СА1 + АД + ½ (СВ + ДС) = ½ АС + СА1 + АД + ½ ДВ =

ОС + СА1 + АД + ДО = (ДО + ОС) + СА1 + АД = ДС + СА1 + АД=

Существуют и другие пути построения искомого вектора.

ОТВЕТ. Искомая сумма равна вектору АА1.

Источник

Мир познаний
Добавить комментарий

Adblock
detector