Что такое сумма векторов в геометрии

Содержание
  1. Сложение и вычитание векторов
  2. Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника
  3. Разность векторов. Вычитание векторов
  4. Умножение вектора на число
  5. Сумма векторов
  6. Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
  7. Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
  8. Покоординатное сложение векторов.
  9. Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
  10. Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
  11. Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.
  12. Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение
  13. Сложение двух векторов
  14. Сложение нескольких векторов
  15. Умножение вектора на число
  16. Свойства операций над векторами
  17. Сложение векторов

Сложение и вычитание векторов

vector 001

Существование: Имеем два следующих случая:

vector 013

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

vector 010

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

vector 011

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
\( \vec + \vec = \left( <+ , + , + > \right) \)

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора \( \overrightarrow \) выполняется равенство

Для произвольных точек \( A,\ B\ и\ C \) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

vector 014

Разность векторов. Вычитание векторов

vector 012

Длина нулевого вектора равна нулю:
\( \left| \vec <0>\right| = 0 \)

Умножение вектора на число

Определение Произведением вектора \( \overrightarrow \) на действительное число \( k \) называется вектор \( \overrightarrow \) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора \( \overrightarrow \) равна \( \left|\overrightarrow\right|=\left|k\right||\overrightarrow| \) ;

Векторы \( \overrightarrow \) и \( \overrightarrow \) сонаправлены, при \( k\ge 0 \) и противоположно направлены, если \( k\le 0 \)

Источник

Сумма векторов

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

caret left.c509a6ae019403bf80f96bff00cd87cd

caret right.6696d877b5de329b9afe170140b9f935

Определение. Суммой векторов image286называется такой вектор image289, начало которого совпадает с началом вектора image291, а конец – с концом вектора image293(правило треугольника).

Из определения следует, что сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору: image295

Сложение векторов подчиняется следующим законам:

а) переместительному закону

image297

б) сочетательному закону

image299

Операция сложения может быть распространена на любое число слагаемых векторов.

Для того чтобы сложить n векторов, надо к концу первого вектора приложить начало второго, затем к концу второго вектора приложить начало третьего и т.д. и, наконец, приложить к концу предпоследнего вектора начало последнего; тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, и будет являться вектором-суммой данных векторов.

При сложении векторов можно любым образом переставлять и группировать слагаемые.

Источник

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

Покоординатное сложение векторов.

1

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

2

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

vectorparallelogram

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.

vectortriangle

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Источник

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

image011

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

image012

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Геометрически оно выглядит следующим образом:

image017

Умножение вектора на число

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

image022

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Источник

Сложение векторов

Сумма векторов

quicklatex.com 6c4235ab6f722f991eb58b9b706362d9 l3

quicklatex.com 706a63e8ea8904e6ab52e4a085990b4d l3

quicklatex.com 3ee9f36d72cb97cf9d8acc930edd6b7f l3

quicklatex.com 3a2905a6f32b74aced2c40f843646a97 l3

quicklatex.com 4f54950e3b81d5c00fa28e06462c9404 l3

Свойства сложения векторов:

Для любых векторов

quicklatex.com 5f37e553799b96465b57f20599fd7ba5 l3

quicklatex.com a879392c125b05491e45b78d34c3cc73 l3

quicklatex.com a46f4fb261b161859f0b24280ae2d6f3 l3

3) свойство прибавления нулевого вектора:

quicklatex.com ad8ab80f66f52a370d199388ab4d7799 l3

4) сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

quicklatex.com 4ecde666534fb81480578577ebac19d9 l3

Достаточно сравнить координаты векторов, стоящих в левой и правой частях этих равенств:

quicklatex.com ebf587a4bbd659b9e1ee1088ba96c7d8 l3

quicklatex.com 92f5cb87531eee4a81a9ece523510695 l3

Так как соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.

quicklatex.com e764f6af5e179d4eeb2b0027103d73df l3

quicklatex.com 9c4b4472f4afa76d484f76da1cf06be1 l3

quicklatex.com 81dc9f65cb9992150a235b6524b81e34 l3

quicklatex.com 867d8c78a70038a943c2e9551151c2c1 l3

quicklatex.com e1dc6bad3cd64941d57b463566c6f330 l3

quicklatex.com dc66062b45366633f91776d66a2e3721 l3

quicklatex.com 6911d342332b7b411418536f4294063e l3

(О сложении векторов)

Каковы бы ни были точки A, B, C, имеет место векторное равенство:

quicklatex.com a1c30ae218fad5de53117a4daf357430 l3

quicklatex.com c8defc5012fcbaafe14fa549d86ff50b l3

quicklatex.com 029b845c52711f7f3c7b936dc6c53918 l3

quicklatex.com 01804304968aa7d45c896f2a5e755cac l3

quicklatex.com ecb3a0f731bafa332932cfe9d518820a l3

quicklatex.com 521484d86f3e6834817d2a96be0a76f8 l3

Что и требовалось доказать.

Правило треугольника построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу треугольника, надо от конца одного вектора отложить другой вектор и провести вектор от начала первого к концу второго вектора.

summa vektorovНапример,

quicklatex.com 3f0b3cae857105077bc30d37214a3130 l3

(то есть это правило следует из теоремы о сложении векторов).

Правило параллелограмма построения суммы двух векторов

Чтобы построить сумму двух векторов по правилу параллелограмма, надо отложить эти векторы от общего начала. Сумма векторов есть диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах и имеющая с ними общее начало.

slozhenie vektorovНапример,

quicklatex.com d8044aac4cafbb0ac4f456396fa2a4cd l3

Правило параллелограмма построения суммы векторов применяется лишь для неколлинеарных векторов.

При любом способе построения суммы неколлинеарных векторов получим одинаковый результат.

postroit summu vektorovПостроить сумму векторов

quicklatex.com 4048051a28484b09402dd5821aaaf035 l3

summa vektorov po pravilu treugolnika

1) Чтобы построить сумму векторов по правилу треугольника, отложим от конца вектора

quicklatex.com c794a2e31016e53c7c781d94da78b505 l3

quicklatex.com 043ea2b051810223c21e4541b7078fee l3

Сумма этих векторов равна вектору, проведённому от начала первого вектора (a) к концу второго (b).

2) Чтобы построить сумму векторов по правилу параллелограмма, отложим векторы

quicklatex.com 5a6ecca35e71d5b54452f49e95ecb64f l3

Достроим на этих векторах параллелограмм.

summa vektorov po pravilu parallelogrammaСумма

quicklatex.com 8855f979d15e4b948dd21d220cfc0aa0 l3

равна вектору, лежащему на диагонали параллелограмма и имеющему с ними общее начало.

1) Сумма двух сонаправленных коллинеарных векторов равна вектору, сонаправленному этим векторам, длина которого равна сумме длин данных векторов.

slozhenie kollinearnyh vektorov

2) Сумма двух противоположно направленных векторов равна вектору, направление которого совпадает с направлением вектора, модуль которого больше, а длина равна разности этих векторов.

summa kollinearnyh vektorov

Фактически в обоих случаях мы используем правило треугольника сложения векторов:

от конца первого вектора откладываем вектор, равный второму, и строим сумму как вектор в направлении от начала первого вектора к концу второго.

Из неравенства треугольника следует ещё два свойства сложения векторов:

Источник

Мир познаний
Добавить комментарий

Adblock
detector