Что такое суперпозиция функций

Содержание

«Учебник по дискретной математике. Суперпозиция функций. Замыкание набора функции.Замкнутые классы функций. Полные наборы. Базисы»
Суперпозиция функций
Смотреть что такое «Суперпозиция функций» в других словарях:
Суперпозиции
Содержание
Способы получения суперпозиций [ править ]
Подстановка одной функции в другую [ править ]
Отождествление переменных [ править ]
Что такое суперпозиция функций
Суперпозиция функций
Суперпозиция функций
Смотреть что такое «Суперпозиция функций» в других словарях:

«Учебник по дискретной математике. Суперпозиция функций. Замыкание набора функции.Замкнутые классы функций. Полные наборы. Базисы»

Пусть имеется некоторый набор K, состоящий из конечного числа булевых функций. Суперпозицией функций из этого набора называются новые функции, полученные с помощью конечного числа применения двух операций;

можно переименовать любую переменную, входящую в функцию из K;

вместо любой переменной можно поставить функцию из набора K или уже образованную ранее суперпозицию.

Суперпозицию еще иначе называют сложной функцией.

Пример 7.1. Если дана одна функция х|y (штрих Шеффера), то ее суперпозициями, в частности, будут следующие функции x|x, x|(x|y), x|(y|z) и т. д.

Замыканием набора функций из K называется множество всех суперпозиций. Класс функций K называется замкнутым, если его замыкание совпадает с ним самим.

Набор функций называется полным, если его замыкание совпадает со всеми логическими функциями. Иначе говоря, полный набор – это множество таких функций, через которые можно выразить все остальные булевы функции.

Неизбыточный полный набор функций называется базисом (“неизбыточный” означает, что если какую-то функцию удалить из набора, то этот набор перестанет быть полным).

Пример 7.2. Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание являются полным набором (в этом убедились в разд. 5), но не являются базисом, так как это набор избыточен, поскольку с помощью правил де Моргана можно удалить конъюнкцию или дизъюнкцию. Любую функцию можно представить в виде полинома Жегалкина (разд. 6). Ясно, что функции конъюнкция, сложение по модулю 2 и константы 0 и 1 являются полным набором, но эти четыре функции также не являются базисом, поскольку 1+1=0, и поэтому константу 0 можно исключить из полного набора (для построения полиномов Жегалкина константа 0 необходима, поскольку выражение “1+1” не является полиномом Жегалкина).

Легко видеть, что одним из способов проверки полноты какого-то набора К является проверка того, что через функции из этого набора выражаются функции другого полного набора (можно проверить, что через функции из К можно выразить конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.

Существуют такие функции, что одна такая функция сама является базисом (здесь достаточно проверить только полноту, неизбыточность очевидна). Такие функции называются шефферовскими функциями. Это название связано с тем, что штрих Шеффера является базисом. Напомним, что штрих Шеффера определяется следующей таблицей истинности:

5000

Так как очевидно 6000 , т. е. отрицание является суперпозицией штриха Шеффера, а дизъюнкция тогда 21000 , штрих Шеффера сам является базисом. Аналогично, стрелка Пирса является шефферовской функцией (студенты могут проверить это сами). Для функций 3-х или более переменных шефферовских функций очень много (конечно, выражение других булевых функций через шефферовскую функцию большого числа переменных сложно, поэтому в технике они редко используются).

Заметим, что вычислительное устройство чаще всего базируется на полном наборе функций (часто на базисах). Если в основе устройства лежат конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, то для этих устройств важна проблема минимизации ДНФ; если в основе устройства лежат другие функции, то полезно уметь алгоритмически минимизировать выражения через эти функции.

Перейдем теперь к выяснению полноты конкретных наборов функций. Для этого перечислим 5 важнейших классов функций:

Пример. В нижеследующей таблице функции f₁, f₂ являются монотонными функциями, а функции f₃, f₄ – нет.

Источник

Суперпозиция функций

Смотреть что такое «Суперпозиция функций» в других словарях:

СУПЕРПОЗИЦИЯ — (позднелат. superpositio, – наложение, от лат. superpositus – положенный наверх) (композиция) – операция логико математич. исчислений, заключающаяся в получении из к. л. данных функций f и g данного исчисления новой функции g (f) (выражение g… … Философская энциклопедия

Суперпозиция — Термин суперпозиция (наложение) может относиться к следующим понятиям: Суперпозиция композиция функций (сложная функция) Принцип суперпозиции принцип в физике и математике, описывающий наложение процессов (например, волн) и, как следствие,… … Википедия

СУПЕРПОЗИЦИЯ ФУНКЦИИ — композиция функций, составление из двух функций сложной функции … Математическая энциклопедия

Квантовая суперпозиция — У этого термина существуют и другие значения, см. Суперпозиция. Квантовая механика … Википедия

Булева функция — В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из за отсутствия сносок … Википедия

РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДИКАТЫ — один из важнейших для оснований математики и математич. логики классов понятий, служащих уточнениями содержат. понятий эффективно вычислимой арифметической функции и эффективно разрешимого арифметического предиката, а в конечном счете, – и… … Философская энциклопедия

ВЫЧИСЛИМАЯ ФУНКЦИЯ — функция, вычисление значений к рой может быть проведено с помощью заранее заданной эффективной процедуры, или алгоритма. Характерная черта вычислительных процессов вычисление искомых величин задач происходит последовательно из данных исходных… … Математическая энциклопедия

Правило дифференцирования сложной функции — Необходимо перенести содержимое этой статьи в статью «Дифференцирование сложной функции». Вы можете помочь проекту, объединив статьи. В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот шаблон на шаблон <<к объединению>> … Википедия

Композиция — (лат. compositio составление, связывание, сложение, соединение): В Викисловаре есть статья «композиция» Искусство Композиция (изобразительное искусство) организующий компонент художественной формы, придающий прои … Википедия

Источник

Суперпозиции

Определение:

Суперпозиция функций (или сложная функция, или композиция функций, англ. function composition) — это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных.

Множество всех возможных не эквивалентных друг другу суперпозиций данного множества функций образует замыкание данного множества функций.

Содержание

Способы получения суперпозиций [ править ]

Тогда мы можем получить новую функцию из имеющихся двумя способами:

Подстановка одной функции в другую [ править ]

Допускается также не только подстановка одной функции в другую, но и подстановка функции в саму себя.

1. [math] x_<1>, \ldots, x_[/math]	— аргументы функции [math]f[/math] до подставленного значения функции [math]g[/math]
2. [math] x_, \ldots, x_ [/math]	— используются как аргументы для вычисления значения функции [math]g(y_<1>, \ldots, y_)[/math]
3. [math] x_, \ldots, x_ [/math]	— аргументы функции [math]f[/math] после подставленного значения функции [math]g[/math]

Отождествление переменных [ править ]

[math] f(a,b) = a \vee b [/math] — исходная функция

[math] h(a) = a \vee a [/math] — функция с отождествленными первым и вторым аргументами

Очевидно, в данном примере мы получили функцию [math]P_<1>[/math] — проектор единственного аргумента.

Источник

Что такое суперпозиция функций

Суперпозиция функций

Сложная функция. Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной и, определенной на множестве U с областью значений У, а переменная и в свою очередь является функцией и = д(х] от переменной ж, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция у = f(g(x называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции). [c.37]

Определение 9. Ее in на некотором промежутке X определена функция г-ф(лг) с множеством значений Z и на множестве Z определена функция у =/(z), то функция у Л (f(x)), где у(у) — неубывающая выпуклая функция одного переменного, /(х) — выпуклая функция, является выпуклой функцией. [c.93]

Пример 3.28. Вернемся к примеру 3.27. На рис. 3.24 показан в виде штрих-пунктирной кривой результат суперпозиции двух функций принадлежности, соответствующих тем квантификаторам, которые имеются в этом примере. С помощью уровня отсечки со значением 0,7 получены нечеткие интервалы на оси абсцисс. Теперь мы можем сказать, что диспетчер должен ожидать изменения плана [c.144]

Другой способ определения функции F, отличный от способа суперпозиции, состоит в том, что при применении какого-либо квантификатора к другому квантификатору происходит некое монотонное преобразование исходной функции принадлежности, сводящееся к растяжению и сдвигу максимума функции в ту или другую сторону. [c.145]

Пример 3.29. На рис. 3.25 показаны два результата, полученные с помощью суперпозиции и сдвига с растяжением, для случая, когда ХА и X соответствуют квантификатору часто. Разница состоит, по-видимому, в том, что суперпозиция вычленяет в функции принадлежности часто те значения, которые часто встречаются. В случае же сдвига и растяжения мы можем интерпретировать результат как появление нового квантификатора со значением часто-часто, который можно при желании аппроксимировать, например, значением очень часто. [c.145]

Покажите, что суперпозиция строго возрастающей функции и функции полезности, представляющей некоторое отношение предпочтения >, также является функцией полезности, представляющей это отношение предпочтения. Какие из нижеприведенных функций могут выступать в качестве такого преобразования [c.38]

Первое из соотношений (2) представляет собой не что иное, как запись правила, согласно которому каждой функции F(x), принадлежащей семейству монотонно неубывающих абсолютно непрерывных функций, ставится в соответствие одна и только одна непрерывная функция w(j ). Это правило линейно, т.е. для него верен принцип суперпозиции [c.240]

Доказательство. Если отображение F непрерывно, функция М0 непрерывна как суперпозиция непрерывных функций. Чтобы доказать вторую часть утверждения, рассмотрим функцию [c.59]

Сложные е функции (суперпозиции) [c.92]

Здесь будут в общих чертах приведены результаты решения ряда вариационных задач (1)—(3). Они решались методом последовательной линеаризации ( 19—21) еще в 1962—1963 гг., когда технология метода только начинала складываться и проходила проверку. Поэтому мы остановимся лишь на некоторых деталях. Прежде всего заметим, что функции С и С2 были заданы достаточно сложными выражениями, являющимися суперпозицией вспомогательных функций, в том числе и заданных таблично. Поэтому при решении сопряженной системы ф=—fx Ж — монотонно возрастающая функция, а и Х—>Ж — некоторая квазивогнутая функция, заданная на выпуклом множестве X, тогда их суперпозиция также будет квазивогнутой функцией. [c.45]

Источник

Суперпозиция функций

Смотреть что такое «Суперпозиция функций» в других словарях:

Источник