Что такое суперпозиция в математике

Суперпозиции

Определение:

Суперпозиция функций (или сложная функция, или композиция функций, англ. function composition) — это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных.

Множество всех возможных не эквивалентных друг другу суперпозиций данного множества функций образует замыкание данного множества функций.

Содержание

Способы получения суперпозиций [ править ]

Тогда мы можем получить новую функцию из имеющихся двумя способами:

Подстановка одной функции в другую [ править ]

Допускается также не только подстановка одной функции в другую, но и подстановка функции в саму себя.

1. [math] x_<1>, \ldots, x_[/math]	— аргументы функции [math]f[/math] до подставленного значения функции [math]g[/math]
2. [math] x_, \ldots, x_ [/math]	— используются как аргументы для вычисления значения функции [math]g(y_<1>, \ldots, y_)[/math]
3. [math] x_, \ldots, x_ [/math]	— аргументы функции [math]f[/math] после подставленного значения функции [math]g[/math]

Отождествление переменных [ править ]

[math] f(a,b) = a \vee b [/math] — исходная функция

[math] h(a) = a \vee a [/math] — функция с отождествленными первым и вторым аргументами

Очевидно, в данном примере мы получили функцию [math]P_<1>[/math] — проектор единственного аргумента.

Источник

Суперпозиция

Термин суперпози́ция (наложение) может относиться к следующим понятиям:

Список значений слова или словосочетания со ссылками на соответствующие статьи. Если вы попали сюда из другой статьи Википедии, пожалуйста, вернитесь и уточните ссылку так, чтобы она указывала на статью.

Полезное

Смотреть что такое «Суперпозиция» в других словарях:

суперпозиция — суперпозиция … Орфографический словарь-справочник

суперпозиция — наложение, совмещение Словарь русских синонимов. суперпозиция сущ., кол во синонимов: 1 • композиция (19) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин … Словарь синонимов

СУПЕРПОЗИЦИЯ — (позднелат. superpositio, – наложение, от лат. superpositus – положенный наверх) (композиция) – операция логико математич. исчислений, заключающаяся в получении из к. л. данных функций f и g данного исчисления новой функции g (f) (выражение g… … Философская энциклопедия

суперпозиция — superpozicija statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. superposition vok. Überlagerung, f; Superposition, f rus. наложение, n; суперпозиция, f pranc. recouvrement, m; superposition, f … Automatikos terminų žodynas

суперпозиция — superpozicija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. superimposition; superposition vok. Überlagerung, f; Superposition, f rus. наложение, n; суперпозиция, f pranc. superposition, f … Fizikos terminų žodynas

суперпозиция — (супер + лат. positio установка, положение) увеличение амплитуды мышечного сокращения в результате суммации одиночных сокращений при ритмичной стимуляции … Большой медицинский словарь

Суперпозиция — (от лат. super сверху, над + позиция) наложение друг на друга … Начала современного естествознания

суперпозиция — суперпоз иция, и … Русский орфографический словарь

суперпозиция — суперпози/ция, и … Слитно. Раздельно. Через дефис.

суперпозиция — Syn: наложение, совмещение … Тезаурус русской деловой лексики

Источник

«Учебник по дискретной математике. Суперпозиция функций. Замыкание набора функции.Замкнутые классы функций. Полные наборы. Базисы»

Пусть имеется некоторый набор K, состоящий из конечного числа булевых функций. Суперпозицией функций из этого набора называются новые функции, полученные с помощью конечного числа применения двух операций;

можно переименовать любую переменную, входящую в функцию из K;

вместо любой переменной можно поставить функцию из набора K или уже образованную ранее суперпозицию.

Суперпозицию еще иначе называют сложной функцией.

Пример 7.1. Если дана одна функция х|y (штрих Шеффера), то ее суперпозициями, в частности, будут следующие функции x|x, x|(x|y), x|(y|z) и т. д.

Замыканием набора функций из K называется множество всех суперпозиций. Класс функций K называется замкнутым, если его замыкание совпадает с ним самим.

Набор функций называется полным, если его замыкание совпадает со всеми логическими функциями. Иначе говоря, полный набор – это множество таких функций, через которые можно выразить все остальные булевы функции.

Неизбыточный полный набор функций называется базисом (“неизбыточный” означает, что если какую-то функцию удалить из набора, то этот набор перестанет быть полным).

Пример 7.2. Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание являются полным набором (в этом убедились в разд. 5), но не являются базисом, так как это набор избыточен, поскольку с помощью правил де Моргана можно удалить конъюнкцию или дизъюнкцию. Любую функцию можно представить в виде полинома Жегалкина (разд. 6). Ясно, что функции конъюнкция, сложение по модулю 2 и константы 0 и 1 являются полным набором, но эти четыре функции также не являются базисом, поскольку 1+1=0, и поэтому константу 0 можно исключить из полного набора (для построения полиномов Жегалкина константа 0 необходима, поскольку выражение “1+1” не является полиномом Жегалкина).

Легко видеть, что одним из способов проверки полноты какого-то набора К является проверка того, что через функции из этого набора выражаются функции другого полного набора (можно проверить, что через функции из К можно выразить конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание.

Существуют такие функции, что одна такая функция сама является базисом (здесь достаточно проверить только полноту, неизбыточность очевидна). Такие функции называются шефферовскими функциями. Это название связано с тем, что штрих Шеффера является базисом. Напомним, что штрих Шеффера определяется следующей таблицей истинности:

Так как очевидно , т. е. отрицание является суперпозицией штриха Шеффера, а дизъюнкция тогда , штрих Шеффера сам является базисом. Аналогично, стрелка Пирса является шефферовской функцией (студенты могут проверить это сами). Для функций 3-х или более переменных шефферовских функций очень много (конечно, выражение других булевых функций через шефферовскую функцию большого числа переменных сложно, поэтому в технике они редко используются).

Заметим, что вычислительное устройство чаще всего базируется на полном наборе функций (часто на базисах). Если в основе устройства лежат конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, то для этих устройств важна проблема минимизации ДНФ; если в основе устройства лежат другие функции, то полезно уметь алгоритмически минимизировать выражения через эти функции.

Перейдем теперь к выяснению полноты конкретных наборов функций. Для этого перечислим 5 важнейших классов функций:

Пример. В нижеследующей таблице функции f₁, f₂ являются монотонными функциями, а функции f₃, f₄ – нет.

Источник

Суперпозиция (математика)

Содержание

Основы

Линейные уравнения

Скалярное линейное уравнение

неоднородна и не выполняется тривиальным решением.

Свойство суперпозиции

Если и являются двумя решениями однородного линейного уравнения, то это уравнение также решает все линейные комбинации двух решений, da Икс ^ <\ displaystyle <\ hat >> Икс ¯ <\ displaystyle <\ bar >> c Икс ^ + d Икс ¯ <\ displaystyle c <\ hat > + d <\ bar >>

Т ( c Икс ^ + d Икс ¯ ) знак равно Т ( c Икс ^ ) + Т ( d Икс ¯ ) знак равно c Т ( Икс ^ ) + d Т ( Икс ¯ ) знак равно 0 + 0 знак равно 0 <\ displaystyle T (c <\ hat > + d <\ bar >) = T (c <\ hat >) + T (d <\ bar >) = cT ( <\ hat >) + dT (<\ bar >) = 0 + 0 = 0> .

В общем, это утверждение также применимо ко всем линейным комбинациям нескольких решений для образования нового решения.

Однородное линейное уравнение

например, через два решения

Выполняет. Так тоже

Раствор твердых частиц

Т ( у + Икс ¯ ) знак равно Т ( у ) + Т ( Икс ¯ ) знак равно 0 + б знак равно б <\ displaystyle T (y + <\ bar >) = T (y) + T (<\ bar >) = 0 + b = b>

применяется. Этот принцип суперпозиции часто используется для решения неоднородных линейных уравнений, поскольку решить однородное линейное уравнение и найти конкретное решение часто проще, чем решение исходной задачи.

Конкретное решение неоднородного уравнения

Наложение решений

и являются и в каждом случае являются решениями индивидуальных проблем Икс 1 <\ displaystyle x_ <1>> Икс 2 <\ displaystyle x_ <2>>

Примеры применения

Линейные диофантовы уравнения

искал. Решения соответствующего однородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения находится здесь

при этом совокупность решений неоднородного уравнения оказывается

Линейные разностные уравнения

Линейное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами

применяется. Таким образом, возникает явное решение неоднородной задачи

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения

Ищем решение неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

ж ′ ( Икс ) + Икс ж ( Икс ) знак равно ( 1 + Икс ) е Икс <\ displaystyle f '(x) + xf (x) = (1 + x) e ^ >

Общее решение соответствующего однородного уравнения

и подставив в исходное уравнение

и таким образом за счет интеграции

где можно установить постоянную интегрирования равной нулю, поскольку интересует только одно специальное решение. В целом решение неоднородной задачи получается как

Источник

СУПЕРПОЗИЦИЯ ФУНКЦИИ

композиция функций,- составление из двух функций сложной функции.

Смотреть что такое «СУПЕРПОЗИЦИЯ ФУНКЦИИ» в других словарях:

СУПЕРПОЗИЦИЯ — (позднелат. superpositio, – наложение, от лат. superpositus – положенный наверх) (композиция) – операция логико математич. исчислений, заключающаяся в получении из к. л. данных функций f и g данного исчисления новой функции g (f) (выражение g… … Философская энциклопедия

Квантовая суперпозиция — У этого термина существуют и другие значения, см. Суперпозиция. Квантовая механика … Википедия

РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДИКАТЫ — один из важнейших для оснований математики и математич. логики классов понятий, служащих уточнениями содержат. понятий эффективно вычислимой арифметической функции и эффективно разрешимого арифметического предиката, а в конечном счете, – и… … Философская энциклопедия

Правило дифференцирования сложной функции — Необходимо перенести содержимое этой статьи в статью «Дифференцирование сложной функции». Вы можете помочь проекту, объединив статьи. В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот шаблон на шаблон <<к объединению>> … Википедия

Булева функция — В данной статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из за отсутствия сносок … Википедия

Квантовая механика — волновая механика, теория устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов) а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с… … Большая советская энциклопедия

Волновая функция — Квантовая механика … Википедия

Источник