Что такое супремум и инфинум

1. Теория пределов

1.1 Супремум и инфимум

Определение 1. Множество < x >, элементами которого являются числа, называется числовым множеством.

Определение 2. Множество вещественных чисел < x > называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M ( m ) такое, что clip image002x £ M ( clip image002x ³ m ).

Число M называется верхней гранью числового множества < x >. Аналогично, число m называется нижней гранью числового множества < x >.

Верхних (нижних) граней бесконечно много, так как любое число, большее M (меньшее m ), есть также верхняя (нижняя) грань.

Определение 3. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества < x > (обозначение sup < x >).

Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества < x > (обозначение inf < x >).

Более точно, эти понятия выражаются следующими свойствами:

1. clip image004.

2. clip image006.

1. clip image008.

2. clip image010.

Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.

Если числовое множество < x > не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup < x >.

Если числовое множество < x > не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf < x >.

1.2 Последовательности

Определение 1. Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел

Обратите внимание на два момента.

1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность!

2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке.

В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение < xn >.

Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них.

1. Умножение последовательности на число.

Последовательность c × < xn > – это последовательность с элементами < c × xn >, то есть

2. Сложение и вычитание последовательностей.

или, более подробно,

3. Умножение последовательностей.

4. Деление последовательностей.

Естественно, предполагается, что в этом случае все yn ¹ 0.

Последовательность < xn > называется ограниченной сверху, если clip image012 clip image014 clip image016.

Последовательность < xn > называется ограниченной снизу, если clip image018 clip image014 clip image020.

Последовательность < xn > называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу.

1.3 Предел последовательности.

Основное определение. Число a называется пределом последовательности < xn > при n стремящимся к бесконечности, если

clip image022.

Для этого факта используют следующие обозначения:

clip image024или clip image026.

Говорят, что clip image028, если clip image030.

Говорят, что clip image032, если clip image034.

Последовательность < xn > называется бесконечно большой, если clip image036(то есть, если clip image038).

1.4 Бесконечно малые последовательности.

Оределение. Последовательность < xn > называется бесконечно малой, если clip image040, то есть если clip image042.

Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства.

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность.

2. Бесконечно малая последовательность ограничена.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

1.5 Сходящиеся последовательности.

Определение. Если существует конечный предел clip image024, то последовательность < xn > называется сходящейся.

Сходящиеся последовательности имеют следующие свойства.

1. Сходящаяся последовательность ограничена.

2. clip image044.

3. clip image046.

4. clip image048.

5. Если clip image050, то clip image052.

1.6 Предельный переход в неравенствах.

1. clip image058;

2. clip image060,

то существует clip image062.

1.7 Предел монотонной последовательности.

Последовательность < xn > называется монотонно возрастающей, если для любого n xn +1 ³ xn .

Последовательность < xn > называется строго монотонно возрастающей, если для любого n xn +1 > xn .

Последовательность < xn > называется монотонно убывающей, если для любого n xn +1 £ xn .

Последовательность < xn > называется строго монотонно убывающей, если для любого n xn +1 xn .

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность < xn > монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup < xn > ( inf < xn > ).

На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел

clip image064

1.8 Подпоследовательности

и рассмотрим последовательность clip image066. Она называется подпоследовательностью последовательности < xn >.

Если < xn > – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая.

Лемма Больцано- Вейерштрасса.

1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу.

2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность.

На основании этой леммы доказывается один из основных результатов теории пределов –

Признак сходимости Больцано-Коши.

Для того, чтобы у последовательности < xn > существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы

clip image068.

Последовательность, удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью, сходящейся в себе.

1.9 Предел функции

Основное определение. Число b называется предельным значением (пределом) функции f ( x ) при x стремящимся к a (обозначение clip image070или clip image072), если

clip image074.

Число b называется предельным значением (пределом) функции f ( x ) при x стремящимся к + ¥ (обозначение clip image076), если

clip image078.

Говорят, что функция f ( x ) стремится к + ¥ при x стремящимся к a (обозначение clip image080), если

clip image082.

clip image084

( clip image086).

Обозначение clip image088( clip image090).

Если clip image092,то существует clip image094. Верно и обратное утверждение.

Теорема, устанавливающая связь понятий предела функции и предела последовательности.

Для того, чтобы существовал clip image096необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности < xn >, у которой clip image098существовал clip image100

Свойства предельных значений.

Предельные значения имеют такие же свойства, что и предел последовательности:

clip image102,

clip image104,

clip image106,

clip image108, если clip image110.

1.10 Предел монотонной функции

Функция f ( x ) называется

строго монотонно возрастающей, если из x 1> x 2 следует f ( x 1)> f ( x 2).

Функция f ( x ) называется

строго монотонно возрастающей, если из x 1> x 2 следует f ( x 1) f ( x 2).

Если f ( x ) ­ при x a и ограничена сверху то существует конечный clip image112.

Если f ( x ) ­ при x a но сверху не ограничена, то clip image114.

Аналогичные формулировки имеют место и для монотонно убывающей функции.

1.11 Признак Больцано-Коши существования предела функции.

Теорема. Для того, чтобы при x стремящимся к a существовал конечный clip image116, необходимо и достаточно, чтобы

clip image118.

Эта теорема является одной из важнейших теорем теории пределов.

1.12 Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин

1. Если существует clip image122и clip image124, clip image126¸ то говорят, что a ( x ) и b ( x ) – бесконечно малые одного порядка.

Обозначение: a = O ( b ) или b = O ( a ).

2. Если clip image128(или, что то же самое, clip image130), то говорят, что a ( x ) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем b ( x ).

Обозначение a = o ( b ).

3. Если clip image132не существует, то говорят, что a ( x ) и b ( x ) несравнимы.

clip image136.

Слагаемое clip image138называется главной частью a ( x ).

1. Если существует clip image142и clip image124, clip image126¸ то говорят, что A ( x ) и B ( x ) – бесконечно большие одного порядка.

2. Если clip image144(или, что то же самое, clip image146), то говорят, что A ( x ) есть бесконечно большая более высокого порядка, чем B ( x ).

3. Если clip image148не существует, то говорят, что A ( x ) и B ( x ) несравнимы.

clip image154.

Источник

Точные грани числовых множеств

Верхняя и нижняя грани числовых множеств.

Множество X вещественных чисел (X ⊂ \(\mathbb\)) называется ограниченным сверху, если существует вещественное число C такое, что все элементы множества X не превосходят C, то есть
$$
\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \leq \ C.\label
$$

Всякое вещественное число C, обладающее свойством \eqref, называется верхней гранью числового множества X.

Аналогично, множество X ⊂ \(\mathbb\) называется ограниченным снизу, если
$$
\exists C’\in\mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geq \ C’.\label
$$

Всякое вещественное число С ‘ , удовлетворяющее условию \eqref, называют нижней гранью числового множества X.

Если числовое множество множество ограничено как сверху, так и снизу, его называют ограниченным, то есть <X — ограниченное множество>\(\Leftrightarrow\left\ <\exists C’\in \ \mathbb\ \exists C\in\mathbb: \ \forall x\in X \ \rightarrow \ C’ \ \leq \ x \ \leq \ C\right\>\).

Записать ⌉A с помощью кванторов, если A = <C — верхняя грань множества X ⊂ \(\mathbb\)>.

По условию \(B=\left\<\exists C \ \in \ \mathbb: \ \forall x \ \in \ X \ \rightarrow \ x \ \geqslant \ C\right\>\). Поэтому
$$
\rceil B=\left\<\forall C \ \in \ \mathbb: \ \exists x_C \ \in \ X \ \rightarrow \ x_C Определение 1.

Число M называется точной верхней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

Число M = sup X, вообще говоря, может как принадлежать, так и не принадлежать множеству X. Например, если X — множество чисел x таких, что 1 ≤ x Замечание 2.

Из определения точной верхней грани множества следует, что если у числового множества X есть точная верхняя грань M, то она единственна.

Число m называется точной нижней гранью числового множества X, если выполняются следующие условия:

Если непустое множество вещественных чисел X ограничено сверху, то существует sup X; если непустое множество X ограничено снизу, то существует inf X.

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие \eqref. Пусть C=c0,c1c2…cn; тогда c0 — неотрицательное целое число, причем C x’.\label$$

Возьмем произвольное число xX и пусть x = a0,<an>. Чтобы проверить выполнение условия \eqref, рассмотрим три произвольных случая:

$$x\not\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$

$$x\in X_k \ \ \ \ \ при \ k=0,1,2,…,\label$$

$$\exists m: \ x\in X_, \ x\not\in X_\label$$

Из \eqref следует, что \(a_0 удовлетворяет произвольный элемент \(\widetilde x\in X_m\), так как

Из неравенства \eqref следует, что sup X есть нижняя грань множества Y. Точная нижняя грань множества Y, то есть число inf Y, есть наибольшая из всех нижних граней множества Y. Значит, sup Xinf Y.

Источник

Супремум и инфимум числовых множеств.

Дата добавления: 2015-08-14 ; просмотров: 19999 ; Нарушение авторских прав

Выше было описано правило, устанавливающее признак равенства двух вещественных чисел. Опишем теперь правило, позволяющее установить, какое из двух вещественных чисел больше.

image094

Найдем первую по порядку цифру в этих числах, которые не равны друг другу. Пусть это будет цифра с номером n, т.е.

image095

(заметим,что символами математики это записывается так: image096). Тогда, если image097, то считаем, что a>b, а если image098, то a |b| то считаем, что а b.

Это правило будет необходимо нам ниже.

Определение. Множество, элементами которого являются вещественные числа, называется числовым множеством.

Числовые множества мы будем обозначать , где под х будут пониматься вещественные числа.

Для того, чтобы все дальнейшие определения и теоремы записывались в принятой математической форме, введем специальные значки, которые носят название кванторов. Их два:

Знак image100называется “квантор общности” и читается “для каждого” ( image100есть перевернутая буква А из английского выражения “for All”).

Знак image101называется “квантором существования” и читается “существует” ( image101есть перевернутая буква Е из английского слова “Exist”). Вариантом этого квантора является знак image101!, который читается “существует единственный” или “существует один и только один”.

А теперь перейдем к определениям.

Определение 2. Числовое множество называется ограниченным снизу, если image105. Число m называется нижней гранью числового множества .

Определение 3. Числовое множество называется ограниченным, если image106.

Очевидно,что если, скажем, существует одна верхняя грань, то их бесконечно много: если, например, М – верхняя грань числового множества ,то М+1, М+2, М+3 и т.д. – также верхние грани для .

Определение 4. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества (обозначение sup).

Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества (обозначение inf).

Эти понятия столь важны, что опишем их в других терминах.

Sup определяется двумя свойствами:

image107

Первое свойство означает, что sup – верхняя грань, т.е. все элементы не превосходят sup.

Второе свойство означает, что любая попытка уменьшить эту верхнюю грань приводит к появлению элемента из , который окажется больше image108.

Говоря образно, sup это планка, перепрыгнуть которую нельзя, но любая попытка опустить эту планку хоть чуть-чуть приводит к тому, что кто-то ее преодолевает.

Аналогично, inf определяется двумя свойствами:

image109

Заметим, что сами sup и inf могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству x.

Теперь мы в состоянии доказать важнейшую теорему этого раздела и одну из важнейших теорем всего мат. анализа.

Теорема о существовании супремума и инфимума.

Если числовое множество не пусто и ограничено сверху, то у него существуетsup.

Если числовое множество не пусто и ограничено снизу, то у него существуетinf.

Мы докажем эту теорему только для sup при одном дополнительном предположении – в множестве имеются положительные числа. Доказательство разбивается на три части.

Пусть М – верхняя грань для , т.е. image110. Проделаем следующее построение:

а) Выбросим из множества все отрицательные числа.

б) У оставшихся чисел выпишем те цифры image111, которые стоят перед запятой. Множество image112этих цифр конечно, т.к. этих цифр не более чем [M] (целая часть М). Обратите внимание, что именно в этом месте используется ограничение теоремы – существование верхней грани. Если бы верхней грани не существовало, то множество было бы бесконечным.

в) Выбросим из все те числа, у которых цифра до запятой меньше image113. У оставшихся чисел выпишем первую цифру после запятой. Этих цифр image114не более 10. Выберем из них самую большую и обозначим ее через image115.

г) Выбросим из все те числа, у которых первая цифра после запятой меньше image115. У оставшихся чисел выпишем вторую цифру после запятой. Этих цифр image116не более 10. Выберем из них самую большую и обозначим ее через image117.

д) Выбросим из все те числа, у которых…

Повторяя эту операцию до бесконечности мы построим число

image118

Покажем,что image119и естьsup.

Возьмем любое image120. Если х имеет знак –, то ясно, что image121.

Пусть х имеет знак +. Тогда

image122

Сравним image123. Вспомним, что image124было самым большим из image112. Поэтому может быть всего два варианта: либо image125, либо image126. В первом случае image127и дальнейшая проверка ни к чему.

Если же image126, то сравним image128. Опять-таки по построению возможны два варианта: либо image129и тогда image127и дальнейшая проверка ни к чему, либо image130.

Если image130, то сравним image131. Опять-таки по построению возможны два варианта: либо image132и тогда image127и дальнейшая проверка ни к чему, либо image133.

Продолжая этот процесс и дальше, получим, что возможны два следующих варианта.

а) Найдется какое-то n, для которого image134. Тогда image127.

б) Для всех n image135. Тогда image136. Поэтому всегда image137и первое свойство супремума выполнено.

Заметим,что второе свойство image138можно записать так: image139. Возьмем положительное image140:

image141.

Так как image140, то найдется такое n,что

image142

но вспомним процедуру построения image143. На n-м шаге после выбрасывания во множестве оставались лишь те числа, для которых image144. Любое из этих чисел будет больше x’ (т.к. image145), но естественно, меньше или равно image119. Поэтому любое из этих чисел удовлетворяет второму свойству супремума.

Источник

Мир познаний
Добавить комментарий

Adblock
detector